Considere a matriz . Encontre seus autovalores e mostre que .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz A=(ccc 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 ) dada por:
O objetivo é encontrar os autovalores dessa matriz e demonstrar que o polinômio mínimo é igual ao polinômio característico . Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de autovalores, polinômio característico e polinômio mínimo.
Passo 2
Vamos começar encontrando o polinômio característico g(lambda) = det(A - lambda I) da matriz A - lambda I = (ccc -lambda & 1 & 0 0 & -lambda & 1 0 & 0 & -lambda ) . O polinômio característico é definido como:
onde é a matriz identidade da mesma dimensão que . Vamos calcular :
det(A - lambda I) = (-lambda) times (-lambda) times (-lambda) = -lambda^3
Como a matriz é triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
g(lambda) = -lambda^3
Portanto, o polinômio característico é:
g(lambda) = lambda^3
Podemos simplificar retirando o sinal negativo:
Passo 4
Os autovalores de lambda^3 = 0 são as raízes do polinômio característico lambda = 0 . Então, vamos resolver a equação:
A única raiz desta equação é:
Portanto, o único autovalor de é , e ele tem multiplicidade 3, já que a raiz aparece três vezes no polinômio.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o polinômio mínimo ma(A) = 0 . O polinômio mínimo é o polinômio de menor grau tal que:
ma(lambda) = g(lambda) = lambda^3
Sabemos que o polinômio mínimo divide o polinômio característico. No nosso caso, queremos mostrar que:
Para isso, precisamos verificar se é realmente o menor polinômio que anula .