Scjia -espaço vetorial com produto interno. Prove que para quaisquer valu a identidade abaixo
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial sobre os números complexos , que possui um produto interno. O objetivo é provar que, para quaisquer vetores e em , a seguinte identidade é válida:
Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades do produto interno e como ele se relaciona com a norma dos vetores. Vamos passo a passo entender cada parte dessa identidade e como chegamos nela.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a norma de um vetor está relacionada ao produto interno por:
Isso significa que a norma ao quadrado de um vetor é igual ao produto interno do vetor consigo mesmo.
Passo 3
Vamos analisar cada termo da identidade que precisamos provar. Nosso objetivo é expressar em termos das normas de combinações de e . Vamos começar expandindo cada um desses termos usando a definição da norma.
Primeiro, consideremos :
Como estamos em um espaço vetorial sobre , temos que , onde o sobrelinha indica o conjugado complexo.
Passo 4
Vamos agora expandir |u - v|^2:
|u - v|^2 = lang<= u - v, u - v rang<= = lang<= u, u rang<= - lang<= u, v rang<= - lang<= v, u rang<= + lang<= v, v rang<=
Note que os termos cruzados têm sinais opostos em comparação com a expansão de |u + v|^2.
Passo 5
Agora, vamos considerar |u + i v|^2:
|u + i v|^2 = lang<= u + i v, u + i v rang<= = lang<= u, u rang<= + ilang<= u, v rang<= - ilang<= v, u rang<= + i^2 lang<= v, v rang<=
Como i^2 = -1, isso simplifica para:
|u + i v|^2 = lang<= u, u rang<= + ilang<= u, v rang<= - ilang<= u, v rang<= - lang<= v, v rang<=
Passo 6
De maneira similar, vamos expandir |u - i v|^2:
|u - i v|^2 = lang<= u - i v, u - i v rang<= = lang<= u, u rang<= - ilang<= u, v rang<= + ilang<= v, u rang<= + i^2lang<= v, v rang<=
Simplificando com i^2 = -1:
|u - i v|^2 = lang<= u, u rang<= - ilang<= u, v rang<= + ilang<= u, v rang<= - lang<= v, v rang<=
Passo 7
Agora, vamos montar a combinação indicada na identidade:
|u+v|^2 - |u-v|^2 + i|u + i v|^2 - i|u - i v|^2
Substituindo as expansões que fizemos:
[lang<= u, u rang<= + lang<= u, v rang<= + lang<= u, v rang<= + lang<= v, v rang<=] - [lang<= u, u rang<= - lang<= u, v rang<= - lang<= u, v rang<= + lang<= v, v rang<=] + i[lang<= u, u rang<= + ilang<= u, v rang<= - ilang<= u, v rang<= - lang<= v, v rang<=] - i[lang<= u, u rang<= - ilang<= u, v rang<= + ilang<= u, v rang<= - lang<= v, v rang<=]
Passo 8
Vamos simplificar cada parte:
Primeira diferença:
[lang<= u, u rang<= + lang<= u, v rang<= + lang<= u, v rang<= + lang<= v, v rang<=] - [lang<= u, u rang<= - lang<= u, v rang<= - lang<= u, v rang<= + lang<= v, v rang<=] = 2lang<= u, v rang<= + 2lang<= u, v rang<=
Segunda diferença multiplicada por i:
i[lang<= u, u rang<= + ilang<= u, v rang<= - ilang<= u, v rang<= - lang<= v, v rang<=] - i[lang<= u, u rang<= - ilang<= u, v rang<= + ilang<= u, v rang<= - lang<= v, v rang<=] = 2ilang<= u, v rang<= - 2ilang<= u, v rang<=
Passo 9
Agora, juntando as partes simplificadas:
2lang<= u, v rang<= + 2lang<= u, v rang<= + 2ilang<= u, v rang<= - 2ilang<= u, v rang<=
Fatorando por 2:
2[lang<= u, v rang<= + lang<= u, v rang<= + ilang<= u, v rang<= - ilang<= u, v rang<=]
Passo 10
Observamos que:
lang<= u, v rang<= + lang<= u, v rang<= = 2Re(lang<= u, v rang<=) ilang<= u, v rang<= - ilang<= u, v rang<= = 2iIm(lang<= u, v rang<=)
Portanto, substituindo:
2[2Re(lang<= u, v rang<=) + 2iIm(lang<= u, v rang<=)] = 4[Re(lang<= u, v rang<=) + iIm(lang<= u, v rang<=)] = 4lang<= u, v rang<=
Resposta
Assim, comprovamos que:
4lang<= u, v rang<= = |u+v|^2 - |u-v|^2 + i|u + i v|^2 - i|u - i v|^2