Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz de ordem 3x3 e precisa descobrir os seus autovalores, os autoespaços correspondentes e verificar se é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinantes, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Portanto, os autovalores são (com multiplicidade 2) e .
Passo 4
Agora, vamos determinar os autoespaços de A - 2I = 0 & 0 & -1 1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 . Para cada autovalor 0x + 0y - z = 0 x + y + z = 0 0 = 0 , o autoespaço é o conjunto de vetores não nulos v = -y y 0 = y -1 1 0 que satisfazem -1 1 0 .
Para A - 3I = -1 & 0 & -1 1 & 0 & 1 0 & 0 & -1 :
- x - z = 0 x + z = 0 - z = 0
Resolvendo v = 0 y 0 = y 0 1 0 :
0 1 0
Da primeira equação, . Substituindo na segunda, , ou seja, .
Então, os vetores do autoespaço para são da forma:
Portanto, o autoespaço é gerado por .
Para :
Resolvendo :
Da terceira equação, . Substituindo nas demais, .
Fica apenas livre.
Então, os vetores do autoespaço para são da forma:
Portanto, o autoespaço é gerado por .
Passo 5
Por último, vamos verificar se a matriz é diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se ela tiver uma quantidade suficiente de autovetores linearmente independentes, ou seja, se a soma das dimensões dos seus autoespaços for igual à ordem da matriz.
Temos os autovalores com um autoespaço de dimensão 1 e com um autoespaço de dimensão 1. Somando as dimensões, temos , que é menor que a ordem da matriz .
Portanto, não é diagonalizável.
Resposta
(a) Os autovalores de E2 = y -1 1 0 , | , y in R são E3 = y 0 1 0 , | , y in R (com multiplicidade 2) e .