Considere a matriz
A=(ccc 2 & 0 & -1 1 & 3 & 1 0 & 0 & 2 )
(a) Determine todos os autovalores de A.
(b) Determine os autoespaços de A.
© A é diagonalizável? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz de ordem 3x3 e precisa descobrir os seus autovalores, os autoespaços correspondentes e verificar se é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinantes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos calcular a matriz A - lambda I = 2 - lambda & 0 & -1 1 & 3 - lambda & 1 0 & 0 & 2 - lambda :
det(A - lambda I) = (2 - lambda) cdot det 3 - lambda & 1 0 & 2 - lambda - 0 + (-1) cdot det 1 & 3 - lambda 0 & 0
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)((3 - lambda)(2 - lambda) - 0) - 0 - (-1)(0) = (2 - lambda)(3 - lambda)(2 - lambda)
Simplificando:
(2 - lambda)^2 (3 - lambda) = 0
Então, a equação característica é:
Portanto, os autovalores são (com multiplicidade 2) e .

Passo 4

Agora, vamos determinar os autoespaços de A - 2I = 0 & 0 & -1 1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 . Para cada autovalor 0x + 0y - z = 0 x + y + z = 0 0 = 0 , o autoespaço é o conjunto de vetores não nulos v = -y y 0 = y -1 1 0 que satisfazem -1 1 0 .
Para A - 3I = -1 & 0 & -1 1 & 0 & 1 0 & 0 & -1 :
- x - z = 0 x + z = 0 - z = 0
Resolvendo v = 0 y 0 = y 0 1 0 :
0 1 0
Da primeira equação, . Substituindo na segunda, , ou seja, .
Então, os vetores do autoespaço para são da forma:
Portanto, o autoespaço é gerado por .
Para :
Resolvendo :
Da terceira equação, . Substituindo nas demais, .
Fica apenas livre.
Então, os vetores do autoespaço para são da forma:
Portanto, o autoespaço é gerado por .

Passo 5

Por último, vamos verificar se a matriz é diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se ela tiver uma quantidade suficiente de autovetores linearmente independentes, ou seja, se a soma das dimensões dos seus autoespaços for igual à ordem da matriz.
Temos os autovalores com um autoespaço de dimensão 1 e com um autoespaço de dimensão 1. Somando as dimensões, temos , que é menor que a ordem da matriz .
Portanto, não é diagonalizável.

Resposta

(a) Os autovalores de E2 = y -1 1 0 , | , y in R são E3 = y 0 1 0 , | , y in R (com multiplicidade 2) e .
(b) Os autoespaços de são:
© A matriz não é diagonalizável porque a soma das dimensões dos seus autoespaços é menor que 3.

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