Seja
a transformação linear que reflete pontos do plano em relação à reta
, onde
(fixado), com
.
(a) Mostre que
e
são autovetores de
.
(b) Verifique se a matriz de
é diagonalizável.
(a) Mostre que
(b) Verifique se a matriz de
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos uma transformação linear
que reflete pontos no plano em relação a uma reta
dada por
, onde
é um número real diferente de zero. O que precisamos fazer:
- Parte (a): Mostrar que os vetores
e são autovetores dessa transformação. - Parte (b): Verificar se a matriz que representa
é diagonalizável.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um autovetor e uma transformação linear, além de saber como representá-las com matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um autovetor. Um vetor
é um autovetor de uma transformação linear
se, ao aplicar
em
, o resultado for um múltiplo de
. Ou seja:
onde
é um escalar chamado de autovalor correspondente a
.
Passo 3
Para mostrar que
e
são autovetores de
, precisamos aplicar a transformação
em cada um deles e ver se o resultado é um múltiplo do vetor original.
Primeiro, precisamos encontrar a matriz que representa
. A reflexão em relação a uma reta
pode ser representada por uma matriz
da seguinte forma:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a matriz
em
:
Calculando a multiplicação:
Simplificando, percebemos que:
Então,
é um autovetor com autovalor
.
Passo 5
Agora, vamos aplicar a matriz
em
:
Calculando a multiplicação:
Simplificando, percebemos que:
Então,
é um autovetor com autovalor
.
Passo 6
Agora que mostramos que
e
são autovetores de
com respectivos autovalores
e
, podemos passar para a segunda parte.
A matriz
que representa
é dada por:
Para verificar se
é diagonalizável, precisamos saber se ela possui um conjunto completo de autovetores lineares.
Passo 7
Já identificamos dois autovetores distintos
e
com autovalores diferentes (
e
, respectivamente). Em dimensões 2, se temos dois autovalores distintos e seus correspondentes autovetores são linearmente independentes, então a matriz é diagonalizável.
Como
e
são linearmente independentes (já que seus componentes não são múltiplos um do outro) e correspondem a autovalores distintos, concluímos que
é diagonalizável.
Resposta
(a) Os vetores
e
são autovetores de
com autovalores
e
, respectivamente.
(b) A matriz de
é diagonalizável.