Seja Rr: R^2 mapsto R^2 a transformação linear que reflete pontos do plano em relação à reta r: y=k^-1 x, onde k in R (fixado), com k neq 0.
(a) Mostre que v1=(k, 1) e v2=(1,-k) são autovetores de Rr.
(b) Verifique se a matriz de Rr é diagonalizável.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos uma transformação linear que reflete pontos no plano em relação a uma reta dada por , onde é um número real diferente de zero. O que precisamos fazer:
  • Parte (a): Mostrar que os vetores e são autovetores dessa transformação.
  • Parte (b): Verificar se a matriz que representa é diagonalizável.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um autovetor e uma transformação linear, além de saber como representá-las com matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um autovetor. Um vetor T(v) = lambda v é um autovetor de uma transformação linear se, ao aplicar em , o resultado for um múltiplo de . Ou seja:
onde é um escalar chamado de autovalor correspondente a .

Passo 3

Para mostrar que A = 11 + k^2 1 - k^2 & 2k 2k & k^2 - 1 e são autovetores de , precisamos aplicar a transformação em cada um deles e ver se o resultado é um múltiplo do vetor original.
Primeiro, precisamos encontrar a matriz que representa . A reflexão em relação a uma reta pode ser representada por uma matriz da seguinte forma:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a matriz A v1 = 11 + k^2 1 - k^2 & 2k 2k & k^2 - 1 k 1 em A v1 = 11 + k^2 (1 - k^2)k + 2k times 1 2k times k + (k^2 - 1) times 1 = 11 + k^2 k - k^3 + 2k 2k^2 + k^2 - 1 = 11 + k^2 3k - k^3 3k^2 - 1 :
A v1 = v1 times (-1)
Calculando a multiplicação:
Simplificando, percebemos que:
Então, é um autovetor com autovalor .

Passo 5

Agora, vamos aplicar a matriz A v2 = 11 + k^2 1 - k^2 & 2k 2k & k^2 - 1 1 -k em A v2 = 11 + k^2 (1 - k^2) times 1 + 2k times (-k) 2k times 1 + (k^2 - 1) times (-k) = 11 + k^2 1 - k^2 - 2k^2 2k - k^3 + k = 11 + k^2 1 - 3k^2 3k - k^3 :
A v2 = v2 times 1
Calculando a multiplicação:
Simplificando, percebemos que:
Então, é um autovetor com autovalor .

Passo 6

Agora que mostramos que A = 11 + k^2 1 - k^2 & 2k 2k & k^2 - 1 e são autovetores de com respectivos autovalores e , podemos passar para a segunda parte.
A matriz que representa é dada por:
Para verificar se é diagonalizável, precisamos saber se ela possui um conjunto completo de autovetores lineares.

Passo 7

Já identificamos dois autovetores distintos e com autovalores diferentes ( e , respectivamente). Em dimensões 2, se temos dois autovalores distintos e seus correspondentes autovetores são linearmente independentes, então a matriz é diagonalizável.
Como e são linearmente independentes (já que seus componentes não são múltiplos um do outro) e correspondem a autovalores distintos, concluímos que é diagonalizável.

Resposta

(a) Os vetores e são autovetores de com autovalores e , respectivamente.
(b) A matriz de é diagonalizável.

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