Encontre a matriz A sabendo que (1,1,0),(0,2,1) são autovetores de A associados ao autovalor -2 e (1,1,1) é autovetor de A associado ao autovalor 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz sabendo que certos vetores são autovetores dela e estão ligados a determinados autovalores. Pra isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores da Álgebra Linear. Vamos precisar saber como relacionar esses autovetores e autovalores para montar a matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um autovetor e um autovalor. Se Av = lambda v é um autovetor de associado ao autovalor , então a relação é:
Isso significa que quando a matriz age no vetor , ela apenas o escalona pelo fator .

Passo 3

Temos dois autovetores associados ao autovalor v1 = 110, v2 = 021 :
v3 = 111
E um autovetor associado ao autovalor :
Vamos usar a relação para cada um desses vetores.

Passo 4

Vamos supor que a matriz A = a & b & c d & e & f g & h & k é uma matriz genérica:
Nosso objetivo é encontrar os valores de .

Passo 5

Aplicando Av1 = -2v1 Rightarrow a & b & c d & e & f g & h & k 110 = -2-20 no primeiro autovetor a + b = -2 d + e = -2 g + h = 0 :
[
A\mathbf{v}_1 = -2\mathbf{v}_1 \Rightarrow


]
Fazendo a multiplicação:

Passo 6

Aplicando Av2 = -2v2 Rightarrow a & b & c d & e & f g & h & k 021 = 0-4-2 no segundo autovetor 2b + c = 0 2e + f = -4 2h + k = -2 :
[
A\mathbf{v}_2 = -2\mathbf{v}_2 \Rightarrow


]
Fazendo a multiplicação:

Passo 7

Aplicando Av3 = 3v3 Rightarrow a & b & c d & e & f g & h & k 111 = 333 no terceiro autovetor a + b + c = 3 d + e + f = 3 g + h + k = 3 :
[
A\mathbf{v}_3 = 3\mathbf{v}_3 \Rightarrow


]
Fazendo a multiplicação:

Passo 8

Agora, temos um sistema de equações para resolver:
a + b = -2 (1) d + e = -2 (2) g + h = 0 (3) 2b + c = 0 (4) 2e + f = -4 (5) 2h + k = -2 (6) a + b + c = 3 (7) d + e + f = 3 (8) g + h + k = 3 (9)

Passo 9

Vamos resolver passo a passo:
  • Da equação (1): (-2 - b) + b + (-2b) = 3 Rightarrow -2 - 2b = 3 Rightarrow -2b = 5 Rightarrow b = -52
  • Da equação (4): a = -2 - (-52) = -2 + 52 = 12, c = -2 times (-52) = 5
    Substituindo e na equação (7):
Então:

Passo 10

Agora, das equações (2) e (5):
  • Da equação (2): d + (-2 - d) + 2d = 3 Rightarrow d - 2 - d + 2d = 3 Rightarrow 2d -2 =3 Rightarrow 2d=5 Rightarrow d=52
  • Da equação (5): e = -2 - 52 = -92, f = 2 times 52 =5
    Substituindo e na equação (8):
Então:

Passo 11

Agora, das equações (3) e (6):
  • Da equação (3): g + (-g) + (-2 + 2g) = 3 Rightarrow 0 + (-2 + 2g) = 3 Rightarrow 2g -2 =3 Rightarrow 2g=5 Rightarrow g=52
  • Da equação (6): h = -52, k = -2 + 2 times 52 = -2 +5 =3
    Substituindo e na equação (9):
Então:

Resposta

A matriz A = 12 & -52 & 5 52 & -92 & 5 52 & -52 & 3 que satisfaz as condições do exercício é:

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