Encontre a matriz sabendo que são autovetores de associados ao autovalor -2 e é autovetor de associado ao autovalor 3.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz sabendo que certos vetores são autovetores dela e estão ligados a determinados autovalores. Pra isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores da Álgebra Linear. Vamos precisar saber como relacionar esses autovetores e autovalores para montar a matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um autovetor e um autovalor. Se é um autovetor de associado ao autovalor , então a relação é:
Isso significa que quando a matriz age no vetor , ela apenas o escalona pelo fator .
Passo 3
Temos dois autovetores associados ao autovalor :
E um autovetor associado ao autovalor :
Vamos usar a relação para cada um desses vetores.
Passo 4
Vamos supor que a matriz A = a & b & c d & e & f g & h & k é uma matriz genérica:
Nosso objetivo é encontrar os valores de .
Passo 5
Aplicando Av1 = -2v1 Rightarrow a & b & c d & e & f g & h & k 110 = -2-20 no primeiro autovetor a + b = -2 d + e = -2 g + h = 0 :
[
A\mathbf{v}_1 = -2\mathbf{v}_1 \Rightarrow
]
Fazendo a multiplicação:
Passo 6
Aplicando Av2 = -2v2 Rightarrow a & b & c d & e & f g & h & k 021 = 0-4-2 no segundo autovetor 2b + c = 0 2e + f = -4 2h + k = -2 :
[
A\mathbf{v}_2 = -2\mathbf{v}_2 \Rightarrow
]
Fazendo a multiplicação:
Passo 7
Aplicando Av3 = 3v3 Rightarrow a & b & c d & e & f g & h & k 111 = 333 no terceiro autovetor a + b + c = 3 d + e + f = 3 g + h + k = 3 :
[
A\mathbf{v}_3 = 3\mathbf{v}_3 \Rightarrow
]
Fazendo a multiplicação:
Passo 8
Agora, temos um sistema de equações para resolver:
a + b = -2 (1) d + e = -2 (2) g + h = 0 (3) 2b + c = 0 (4) 2e + f = -4 (5) 2h + k = -2 (6) a + b + c = 3 (7) d + e + f = 3 (8) g + h + k = 3 (9)
Passo 9
Vamos resolver passo a passo:
Da equação (1): (-2 - b) + b + (-2b) = 3 Rightarrow -2 - 2b = 3 Rightarrow -2b = 5 Rightarrow b = -52
Da equação (4): a = -2 - (-52) = -2 + 52 = 12, c = -2 times (-52) = 5
Substituindo e na equação (7):
Então:
Passo 10
Agora, das equações (2) e (5):
Da equação (2): d + (-2 - d) + 2d = 3 Rightarrow d - 2 - d + 2d = 3 Rightarrow 2d -2 =3 Rightarrow 2d=5 Rightarrow d=52
Da equação (5): e = -2 - 52 = -92, f = 2 times 52 =5
Substituindo e na equação (8):