Diagonalize, se possível, a matriz A. Se for diagonalizável, encontre matrizes P e D, com P invertível e D diagonal, tais que A=P D P^-1 onde
A=(ccc 4 & 0 & 1 -2 & 1 & 0 -2 & 0 & 1 )

Passo 1

Vamos resolver o problema de diagonalizar a matriz . Diagonalizar uma matriz significa encontrar uma matriz diagonal e uma matriz invertível tais que . Para isso, precisamos encontrar os autovalores e os autovetores de . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente os de autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes.

Passo 2

Primeiro, encontramos os autovalores de det(A - lambda I) = det(ccc 4 - lambda & 0 & 1 -2 & 1 - lambda & 0 -2 & 0 & 1 - lambda ) = 0 . Para isso, calculamos o determinante da matriz (4 - lambda)((1 - lambda)(1 - lambda) - 0cdot0) - 0 + 1(-2cdot0 - (-2)(1 - lambda)) = 0 e resolvemos para (4 - lambda)(1 - lambda)^2 + 2(1 - lambda) = 0 :
(1 - lambda)((4 - lambda)(1 - lambda) + 2) = 0
Calculando o determinante:
(1 - lambda)(4 - lambda - 4lambda + lambda^2 + 2) = 0
Simplificando:
(1 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 6) = 0
(1 - lambda)(lambda - 2)(lambda - 3) = 0
Portanto, os autovalores são , e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para (ccc 3 & 0 & 1 -2 & 0 & 0 -2 & 0 & 0 ) v = 0 :
Resolvemos 0 1 0 :
(ccc 2 & 0 & 1 -2 & -1 & 0 -2 & 0 & -1 ) v = 0
Da segunda e terceira linhas, temos 1 -2 -2 , então (ccc 1 & 0 & 1 -2 & -2 & 0 -2 & 0 & -2 ) v = 0 . Da primeira linha, 1 -1 -1 implica . Apenas é livre. Portanto, um autovetor é .
Para :
Resolvemos :
Da segunda linha: .
Da primeira linha: .
Escolhendo , temos .
Para :
Resolvemos :
Da primeira linha: .
Da segunda linha: .
Escolhendo , temos .

Passo 4

Com os autovalores e autovetores encontrados, montamos as matrizes P = 0 & 1 & 1 1 & -2 & -1 0 & -2 & -1 e D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 .
A matriz será formada pelos autovetores como colunas:
A matriz será uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal:

Passo 5

Finalmente, verificamos se . Calculando e multiplicando as matrizes, confirmamos que a igualdade é válida, o que significa que a matriz é diagonalizável.

Resposta

A matriz P = 0 & 1 & 1 1 & -2 & -1 0 & -2 & -1 e D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 é diagonalizável e pode ser expressa como , onde

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