Diagonalize, se possível, a matriz . Se for diagonalizável, encontre matrizes e , com invertível e diagonal, tais que onde
Passo 1
Vamos resolver o problema de diagonalizar a matriz . Diagonalizar uma matriz significa encontrar uma matriz diagonal e uma matriz invertível tais que . Para isso, precisamos encontrar os autovalores e os autovetores de . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente os de autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes.
Da segunda e terceira linhas, temos 1 -2 -2 , então (ccc 1 & 0 & 1 -2 & -2 & 0 -2 & 0 & -2 ) v = 0 . Da primeira linha, 1 -1 -1 implica . Apenas é livre. Portanto, um autovetor é .
Para :
Resolvemos :
Da segunda linha: ⇒ .
Da primeira linha: ⇒ .
Escolhendo , temos .
Para :
Resolvemos :
Da primeira linha: ⇒ .
Da segunda linha: ⇒ .
Escolhendo , temos .
Passo 4
Com os autovalores e autovetores encontrados, montamos as matrizes P = 0 & 1 & 1 1 & -2 & -1 0 & -2 & -1 e D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 .
A matriz será formada pelos autovetores como colunas:
A matriz será uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
Passo 5
Finalmente, verificamos se . Calculando e multiplicando as matrizes, confirmamos que a igualdade é válida, o que significa que a matriz é diagonalizável.
Resposta
A matriz P = 0 & 1 & 1 1 & -2 & -1 0 & -2 & -1 e D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 é diagonalizável e pode ser expressa como , onde