Considere a matriz .
(b) Apresente o conjunto solução do sistema A X=B, onde B^T=[lll1 & -2 & 0].
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz e um vetor . O objetivo é encontrar o conjunto de soluções que satisfazem a equação . Aqui, estamos trabalhando com sistemas lineares, que é um tópico de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar verificar se a matriz é invertível e, se for o caso, encontrar sua inversa para calcular .
Passo 2
Vamos começar verificando se a matriz det(A) = 3 & -1 & 5 2 & 0 & 4 0 & -1 & 7 é invertível. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero. O determinante nos dá uma ideia se a matriz tem uma solução única. Calculando o determinante de det(A) = 3 cdot 0 & 4 -1 & 7 - (-1) cdot 2 & 4 0 & 7 + 5 cdot 2 & 0 0 & -1 :
0 & 4 -1 & 7 = (0)(7) - (4)(-1) = 0 + 4 = 4
Para calcular o determinante de uma matriz 2 & 4 0 & 7 = (2)(7) - (4)(0) = 14 - 0 = 14 , usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:
Agora que sabemos que Cof(A) = C11 & C12 & C13 C21 & C22 & C23 C31 & C32 & C33 é invertível, podemos encontrar a matriz inversa 0 & 4 -1 & 7 . A fórmula para a inversa de uma matriz 2 & 4 0 & 7 envolve os cofatores, adjunta e determinante, mas para simplificar, usaremos a regra que 2 & 0 0 & -1 .
Vamos calcular a adjunta de -1 & 5 -1 & 7 , que é a transposta da matriz dos cofatores.
Primeiro, encontramos a matriz dos cofatores:
3 & 5 0 & 7
Onde cada cofator 3 & -1 0 & -1 é dado por -1 & 5 0 & 4 vezes o determinante do menor correspondente.