Considere a matriz A=[ccc3 & -1 & 5 2 & 0 & 4 0 & -1 & 7].
(b) Apresente o conjunto solução do sistema A X=B, onde B^T=[lll1 & -2 & 0].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz e um vetor . O objetivo é encontrar o conjunto de soluções que satisfazem a equação . Aqui, estamos trabalhando com sistemas lineares, que é um tópico de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar verificar se a matriz é invertível e, se for o caso, encontrar sua inversa para calcular .

Passo 2

Vamos começar verificando se a matriz det(A) = 3 & -1 & 5 2 & 0 & 4 0 & -1 & 7 é invertível. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero. O determinante nos dá uma ideia se a matriz tem uma solução única. Calculando o determinante de det(A) = 3 cdot 0 & 4 -1 & 7 - (-1) cdot 2 & 4 0 & 7 + 5 cdot 2 & 0 0 & -1 :
0 & 4 -1 & 7 = (0)(7) - (4)(-1) = 0 + 4 = 4
Para calcular o determinante de uma matriz 2 & 4 0 & 7 = (2)(7) - (4)(0) = 14 - 0 = 14 , usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:
2 & 0 0 & -1 = (2)(-1) - (0)(0) = -2 - 0 = -2
Calculando os menores:
det(A) = 3 cdot 4 - (-1) cdot 14 + 5 cdot (-2) = 12 + 14 - 10 = 16
Substituindo de volta:
Como , a matriz é invertível.

Passo 3

Agora que sabemos que Cof(A) = C11 & C12 & C13 C21 & C22 & C23 C31 & C32 & C33 é invertível, podemos encontrar a matriz inversa 0 & 4 -1 & 7 . A fórmula para a inversa de uma matriz 2 & 4 0 & 7 envolve os cofatores, adjunta e determinante, mas para simplificar, usaremos a regra que 2 & 0 0 & -1 .
Vamos calcular a adjunta de -1 & 5 -1 & 7 , que é a transposta da matriz dos cofatores.
Primeiro, encontramos a matriz dos cofatores:
3 & 5 0 & 7
Onde cada cofator 3 & -1 0 & -1 é dado por -1 & 5 0 & 4 vezes o determinante do menor correspondente.
Vamos calcular cada cofator:
  • 3 & 5 2 & 4
  • 3 & -1 2 & 0
  • Cof(A) = 4 & -14 & -2 2 & 21 & 3 -4 & -2 & 2
  • adj(A) = 4 & 2 & -4 -14 & 21 & -2 -2 & 3 & 2
  • A^-1 = 116 4 & 2 & -4 -14 & 21 & -2 -2 & 3 & 2
  • A^-1 = 14 & 18 & -14 -78 & 2116 & -18 -18 & 316 & 18
Então, a matriz dos cofatores é:
Agora, a adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:
Finalmente, a inversa de é:
Ou, simplificando:

Passo 4

Agora que temos X = A^-1 B , podemos encontrar B = 1 -2 0 multiplicando X = 14 & 18 & -14 -78 & 2116 & -18 -18 & 316 & 18 1 -2 0 por :
Primeiro, vamos escrever como vetor coluna:
Então, a multiplicação fica:
Vamos calcular cada componente de :

Resposta

O conjunto solução do sistema X = 0 -3.5 -0.5 é:

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