Considere a matriz .
(b) Apresente o conjunto solução do sistema , onde .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz e um vetor . O objetivo é encontrar o conjunto de soluções que satisfazem a equação . Aqui, estamos trabalhando com sistemas lineares, que é um tópico de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar verificar se a matriz é invertível e, se for o caso, encontrar sua inversa para calcular .
Passo 2
Vamos começar verificando se a matriz é invertível. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero. O determinante nos dá uma ideia se a matriz tem uma solução única. Calculando o determinante de :
Para calcular o determinante de uma matriz , usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:
Calculando os menores:
Substituindo de volta:
Como , a matriz é invertível.
Passo 3
Agora que sabemos que é invertível, podemos encontrar a matriz inversa . A fórmula para a inversa de uma matriz envolve os cofatores, adjunta e determinante, mas para simplificar, usaremos a regra que .
Vamos calcular a adjunta de , que é a transposta da matriz dos cofatores.
Primeiro, encontramos a matriz dos cofatores:
Onde cada cofator é dado por vezes o determinante do menor correspondente.
Vamos calcular cada cofator:
Então, a matriz dos cofatores é:
Agora, a adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:
Finalmente, a inversa de é:
Ou, simplificando:
Passo 4
Agora que temos , podemos encontrar multiplicando por :