Dados os espaços vetoriais , considere o conjunto (produto cartesiano de por ), cujos elementos são os pares ordenados , com e . Defina operações que tornem um espaço vetorial. Verifique a validez de cada um dos axiomas e mostre que sua definição se estende para o caso de
espaços vetoriais , ou mesmo de uma seqüência infinita

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me apresentou um exercício sobre espaços vetoriais, especificamente sobre o produto cartesiano de dois espaços vetoriais e , formando . O que precisamos fazer é definir operações de adição e multiplicação por escalar nesse conjunto para que ele também seja um espaço vetorial. Além disso, vamos verificar se todas as propriedades (axiomas) de um espaço vetorial são satisfeitas e mostrar que isso funciona para espaços vetoriais ou até mesmo uma sequência infinita deles. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de espaço vetorial, operações vetoriais e os axiomas que definem um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos definir como vai ser a adição de vetores em . Como é o produto cartesiano de e , cada vetor em é um par ordenado , onde e .
Definição da Adição:
Para dois vetores e em , a soma é definida componente a componente:
Essa definição faz sentido porque e são espaços vetoriais, então podemos somar com em e com em .

Passo 3

Agora, vamos definir a multiplicação por escalar em .
Definição da Multiplicação por Escalar:
Para um escalar e um vetor em , a multiplicação por escalar é definida componente a componente:
Isso também faz sentido porque e são espaços vetoriais, então podemos multiplicar e por dentro de seus respectivos espaços.

Passo 4

Com as operações definidas, precisamos verificar se todas as propriedades de um espaço vetorial são satisfeitas em . Vamos conferir cada axioma:
  1. Fechamento sob Adição:
    Como e são fechados sob adição, e , então .
  2. Comutatividade da Adição:
    Isso ocorre porque a adição em e é comutativa.
  3. Associatividade da Adição:
    Novamente, a associatividade vale componente a componente devido aos espaços e .
  4. Elemento Neutro da Adição:
    Existe um vetor zero tal que .
  5. Elemento Inverso da Adição:
    Para cada , existe tal que .
  6. Fechamento sob Multiplicação por Escalar:
    Como e são fechados sob multiplicação por escalar, e , então .
  7. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição Vetorial:
    Isso se aplica componente a componente.
  8. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição Escalar:
    Novamente, válida componente a componente.
  9. Associatividade da Multiplicação por Escalar:
    Válida porque é válida em e .
  10. Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar:
    Onde 1 é o elemento neutro dos escalares, válida componente a componente.
Como todas as propriedades são satisfeitas componente a componente, é de fato um espaço vetorial.

Passo 5

Agora, vamos pensar em como isso se estende para espaços vetoriais ou mesmo para uma sequência infinita .
Operações Definidas para Espaços:
Para , definimos a adição e a multiplicação por escalar componente a componente:
E as verificações dos axiomas seguem o mesmo raciocínio usado para dois espaços.
Para uma Sequência Infinita:
Se considerarmos , onde cada é um espaço vetorial, as operações permanecem definidas componente a componente:
Desde que cada operação em cada componente seja válida, também será um espaço vetorial infinito.

Resposta

Então, definindo a adição e a multiplicação por escalar componente a componente no produto cartesiano ou até mesmo em uma sequência infinita, garantimos que seja um espaço vetorial, já que todas as propriedades necessárias são satisfeitas. Assim, se torna um espaço vetorial, independentemente de quantos espaços vetoriais estamos combinando.

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