Seja , onde sempre que , uma matriz invertível.
(b) O que se pode afirmar sobre os co-fatores dos elementos da diagonal principal de ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz de tamanho que é triangular inferior (porque todos os elementos acima da diagonal principal são zero, ou seja, para ). Além disso, sabemos que é invertível. A pergunta é: O que podemos afirmar sobre os cofatores dos elementos da diagonal principal de ?
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes triangulares, determinantes e cofatores.
Passo 2
Primeiro, como é uma matriz triangular inferior e invertível, sabemos que todos os elementos da diagonal principal são diferentes de zero. Isso porque o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal, e como a matriz é invertível, esse determinante não pode ser zero.
Matematicamente:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre cofatores. O cofator de um elemento da diagonal principal é definido como:
onde é a matriz menor obtida removendo a i-ésima linha e coluna de .
No caso de uma matriz triangular inferior, a matriz menor também será triangular inferior (mas de tamanho ), o que significa que seu determinante também é o produto dos elementos da diagonal principal de .
Passo 4
Como a matriz é invertível e todos os elementos da diagonal principal são diferentes de zero, isso implica que os determinantes das matrizes menores também são diferentes de zero. Portanto, os cofatores não serão zero.
Além disso, como para qualquer inteiro , os cofatores são simplesmente iguais aos determinantes das matrizes menores , que são não nulos.
Passo 5
Resumindo, os cofatores dos elementos da diagonal principal de são todos diferentes de zero.
Resposta
Os cofatores dos elementos da diagonal principal de são todos distintos de zero.