Seja
, onde
sempre que
, uma matriz invertível.
(a) O que se pode afirmar sobre o co-fator do elemento
?
(a) O que se pode afirmar sobre o co-fator do elemento
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz
de ordem
, onde os elementos
são iguais a zero sempre que
. Isso significa que a matriz é triangular inferior. Além disso, é dito que
é invertível. O conteúdo principal aqui envolve matrizes triangulares e cofatores. Para resolver, vamos precisar entender como calcular cofatores em matrizes triangulares.
Passo 2
Vamos lembrar o que é um co-fator. O co-fator
de um elemento
é dado por:
onde
é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz que sobra quando removemos a
-ésima linha e a
-ésima coluna de
.
Passo 3
Agora, vamos focar no elemento
. Observando a matriz triangular inferior, sabemos que
porque
. Apesar de o elemento ser zero, o co-fator
não necessariamente será zero.
Passo 4
Calculando o co-fator
:
Para encontrar
, removemos a primeira linha e a terceira coluna de
, ficando com uma matriz
triangular inferior. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Portanto:
Como
é invertível, sabemos que todos os
são diferentes de zero, então
.
Resposta
O co-fator do elemento
é igual a zero.