Seja , onde sempre que , uma matriz invertível.
(a) O que se pode afirmar sobre o co-fator do elemento ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz de ordem , onde os elementos são iguais a zero sempre que . Isso significa que a matriz é triangular inferior. Além disso, é dito que é invertível. O conteúdo principal aqui envolve matrizes triangulares e cofatores. Para resolver, vamos precisar entender como calcular cofatores em matrizes triangulares.

Passo 2

Vamos lembrar o que é um co-fator. O co-fator de um elemento é dado por:
onde é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz que sobra quando removemos a -ésima linha e a -ésima coluna de .

Passo 3

Agora, vamos focar no elemento . Observando a matriz triangular inferior, sabemos que porque . Apesar de o elemento ser zero, o co-fator não necessariamente será zero.

Passo 4

Calculando o co-fator :
Para encontrar , removemos a primeira linha e a terceira coluna de , ficando com uma matriz triangular inferior. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Portanto:
Como é invertível, sabemos que todos os são diferentes de zero, então .

Resposta

O co-fator do elemento é igual a zero.

Exercícios relacionados

Seja , onde sempre que , uma matriz invertível.
(b) O que se pode afirmar sobre os co-fatores dos elementos da diagonal principal de ?
Considere a matriz .
(b) Apresente o conjunto solução do sistema , onde .
Considere a matriz .
(a) Pelo processo de Gauss-Jordan (escalonamento), calcule .
Dada a matriz , definimos a matriz adjunta de por , em que e é o co-fator do elemento da matriz .
(a) Determine a adjunta da matriz , onde .