Seja A=[ai j]4 times 4, onde ai j=0 sempre que i, uma matriz invertível.
(a) O que se pode afirmar sobre o co-fator do elemento a13 ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz de ordem , onde os elementos são iguais a zero sempre que . Isso significa que a matriz é triangular inferior. Além disso, é dito que é invertível. O conteúdo principal aqui envolve matrizes triangulares e cofatores. Para resolver, vamos precisar entender como calcular cofatores em matrizes triangulares.

Passo 2

Vamos lembrar o que é um co-fator. O co-fator Cij = (-1)^i+j cdot Mij de um elemento é dado por:
onde é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz que sobra quando removemos a -ésima linha e a -ésima coluna de .

Passo 3

Agora, vamos focar no elemento . Observando a matriz triangular inferior, sabemos que porque . Apesar de o elemento ser zero, o co-fator não necessariamente será zero.

Passo 4

Calculando o co-fator C13 = (-1)^1+3 cdot M13 = (-1)^4 cdot M13 = M13 :
M13 = a22 cdot a33 cdot a44
Para encontrar , removemos a primeira linha e a terceira coluna de , ficando com uma matriz triangular inferior. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Portanto:
Como é invertível, sabemos que todos os são diferentes de zero, então .

Resposta

O co-fator do elemento é igual a zero.

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