Seja , onde sempre que , uma matriz invertível.
(a) O que se pode afirmar sobre o co-fator do elemento ?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz de ordem , onde os elementos são iguais a zero sempre que . Isso significa que a matriz é triangular inferior. Além disso, é dito que é invertível. O conteúdo principal aqui envolve matrizes triangulares e cofatores. Para resolver, vamos precisar entender como calcular cofatores em matrizes triangulares.
Passo 2
Vamos lembrar o que é um co-fator. O co-fator de um elemento é dado por:
onde é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz que sobra quando removemos a -ésima linha e a -ésima coluna de .
Passo 3
Agora, vamos focar no elemento . Observando a matriz triangular inferior, sabemos que porque . Apesar de o elemento ser zero, o co-fator não necessariamente será zero.
Passo 4
Calculando o co-fator :
Para encontrar , removemos a primeira linha e a terceira coluna de , ficando com uma matriz triangular inferior. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Portanto:
Como é invertível, sabemos que todos os são diferentes de zero, então .