Considere a matriz .
(a) Pelo processo de Gauss-Jordan (escalonamento), calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a inversa da matriz usando o processo de Gauss-Jordan. Primeiro, vamos entender que estamos trabalhando com matrizes e buscando a matriz inversa. Para isso, precisamos aplicar o método de escalonamento de Gauss-Jordan, que consiste em transformar a matriz em uma matriz identidade enquanto aplicamos as mesmas operações na matriz identidade para obter .

Passo 2

Vamos começar escrevendo a matriz aumentada, que é a matriz ao lado da matriz identidade . Isso facilita o processo de escalonamento. Então, temos:

Passo 3

O objetivo é transformar o lado esquerdo da matriz aumentada em uma matriz identidade. Primeiro, vamos deixar o primeiro elemento da primeira linha igual a 1. Para isso, vamos dividir a primeira linha por 3:

Passo 4

Agora, queremos eliminar o 2 abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:

Passo 5

Em seguida, queremos que o elemento na segunda linha e segunda coluna seja 1. Para isso, multiplicamos a segunda linha por :

Passo 6

Agora, vamos eliminar o -1 na terceira linha, segunda coluna. Para isso, adicionamos a segunda linha à terceira linha:

Passo 7

Agora, queremos que o elemento na terceira linha e terceira coluna seja 1. Para isso, dividimos a terceira linha por 8:

Passo 8

Vamos agora eliminar os elementos acima do 1 na terceira coluna. Primeiro, subtraímos vezes a terceira linha da primeira linha:
Simplificando os valores:

Passo 9

Ainda precisamos eliminar o 1 na segunda linha, terceira coluna. Para isso, subtraímos a terceira linha da segunda linha:
Simplificando:

Passo 10

Por último, vamos eliminar o na primeira linha, segunda coluna. Para isso, adicionamos vezes a segunda linha à primeira linha:
Simplificando os valores:
Simplificando mais:

Resposta

A inversa da matriz é:

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Dada a matriz , definimos a matriz adjunta de por , em que e é o co-fator do elemento da matriz .
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