Considere a matriz A=[ccc3 & -1 & 5 2 & 0 & 4 0 & -1 & 7].
(a) Pelo processo de Gauss-Jordan (escalonamento), calcule A^-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a inversa da matriz usando o processo de Gauss-Jordan. Primeiro, vamos entender que estamos trabalhando com matrizes e buscando a matriz inversa. Para isso, precisamos aplicar o método de escalonamento de Gauss-Jordan, que consiste em transformar a matriz em uma matriz identidade enquanto aplicamos as mesmas operações na matriz identidade para obter .

Passo 2

Vamos começar escrevendo a matriz aumentada, que é a matriz [ccc|ccc 3 & -1 & 5 & 1 & 0 & 0 2 & 0 & 4 & 0 & 1 & 0 0 & -1 & 7 & 0 & 0 & 1 ] ao lado da matriz identidade . Isso facilita o processo de escalonamento. Então, temos:

Passo 3

O objetivo é transformar o lado esquerdo da matriz aumentada em uma matriz identidade. Primeiro, vamos deixar o primeiro elemento da primeira linha igual a 1. Para isso, vamos dividir a primeira linha por 3:
R1 = 13 R1 implies [ccc|ccc 1 & -13 & 53 & 13 & 0 & 0 2 & 0 & 4 & 0 & 1 & 0 0 & -1 & 7 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Agora, queremos eliminar o 2 abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
R2 = R2 - 2R1 implies [ccc|ccc 1 & -13 & 53 & 13 & 0 & 0 0 & 23 & 23 & -23 & 1 & 0 0 & -1 & 7 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 5

Em seguida, queremos que o elemento na segunda linha e segunda coluna seja 1. Para isso, multiplicamos a segunda linha por R2 = 32 R2 implies [ccc|ccc 1 & -13 & 53 & 13 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & -1 & 32 & 0 0 & -1 & 7 & 0 & 0 & 1 ] :

Passo 6

Agora, vamos eliminar o -1 na terceira linha, segunda coluna. Para isso, adicionamos a segunda linha à terceira linha:
R3 = R3 + R2 implies [ccc|ccc 1 & -13 & 53 & 13 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & -1 & 32 & 0 0 & 0 & 8 & -1 & 32 & 1 ]

Passo 7

Agora, queremos que o elemento na terceira linha e terceira coluna seja 1. Para isso, dividimos a terceira linha por 8:
R3 = 18 R3 implies [ccc|ccc 1 & -13 & 53 & 13 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & -1 & 32 & 0 0 & 0 & 1 & -18 & 316 & 18 ]

Passo 8

Vamos agora eliminar os elementos acima do 1 na terceira coluna. Primeiro, subtraímos R1 = R1 - 53 R3 implies [ccc|ccc 1 & -13 & 0 & 13 + 524 & -1548 & -524 0 & 1 & 1 & -1 & 32 & 0 0 & 0 & 1 & -18 & 316 & 18 ] vezes a terceira linha da primeira linha:
[ccc|ccc 1 & -13 & 0 & 1124 & -516 & -524 0 & 1 & 1 & -1 & 32 & 0 0 & 0 & 1 & -18 & 316 & 18 ]
Simplificando os valores:

Passo 9

Ainda precisamos eliminar o 1 na segunda linha, terceira coluna. Para isso, subtraímos a terceira linha da segunda linha:
R2 = R2 - R3 implies [ccc|ccc 1 & -13 & 0 & 1124 & -516 & -524 0 & 1 & 0 & -78 & 616 & -18 0 & 0 & 1 & -18 & 316 & 18 ]
Simplificando:
[ccc|ccc 1 & -13 & 0 & 1124 & -516 & -524 0 & 1 & 0 & -78 & 38 & -18 0 & 0 & 1 & -18 & 316 & 18 ]

Passo 10

Por último, vamos eliminar o R1 = R1 + 13 R2 implies [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 1124 - 724 & -516 + 18 & -524 - 124 0 & 1 & 0 & -78 & 38 & -18 0 & 0 & 1 & -18 & 316 & 18 ] na primeira linha, segunda coluna. Para isso, adicionamos [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 424 & -316 & -624 0 & 1 & 0 & -78 & 38 & -18 0 & 0 & 1 & -18 & 316 & 18 ] vezes a segunda linha à primeira linha:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 16 & -316 & -14 0 & 1 & 0 & -78 & 38 & -18 0 & 0 & 1 & -18 & 316 & 18 ]
Simplificando os valores:
Simplificando mais:

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = 16 & -316 & -14 -78 & 38 & -18 -18 & 316 & 18 é:

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