Considere a matriz .
(a) Pelo processo de Gauss-Jordan (escalonamento), calcule .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a inversa da matriz usando o processo de Gauss-Jordan. Primeiro, vamos entender que estamos trabalhando com matrizes e buscando a matriz inversa. Para isso, precisamos aplicar o método de escalonamento de Gauss-Jordan, que consiste em transformar a matriz em uma matriz identidade enquanto aplicamos as mesmas operações na matriz identidade para obter .
Passo 2
Vamos começar escrevendo a matriz aumentada, que é a matriz ao lado da matriz identidade . Isso facilita o processo de escalonamento. Então, temos:
Passo 3
O objetivo é transformar o lado esquerdo da matriz aumentada em uma matriz identidade. Primeiro, vamos deixar o primeiro elemento da primeira linha igual a 1. Para isso, vamos dividir a primeira linha por 3:
Passo 4
Agora, queremos eliminar o 2 abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Passo 5
Em seguida, queremos que o elemento na segunda linha e segunda coluna seja 1. Para isso, multiplicamos a segunda linha por :
Passo 6
Agora, vamos eliminar o -1 na terceira linha, segunda coluna. Para isso, adicionamos a segunda linha à terceira linha:
Passo 7
Agora, queremos que o elemento na terceira linha e terceira coluna seja 1. Para isso, dividimos a terceira linha por 8:
Passo 8
Vamos agora eliminar os elementos acima do 1 na terceira coluna. Primeiro, subtraímos vezes a terceira linha da primeira linha:
Simplificando os valores:
Passo 9
Ainda precisamos eliminar o 1 na segunda linha, terceira coluna. Para isso, subtraímos a terceira linha da segunda linha:
Simplificando:
Passo 10
Por último, vamos eliminar o na primeira linha, segunda coluna. Para isso, adicionamos vezes a segunda linha à primeira linha: