Dada a matriz , definimos a matriz adjunta de por , em que e é o co-fator do elemento da matriz .
(a) Determine a adjunta da matriz , onde .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a adjunta da matriz . Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a matriz adjunta e como calcular os co-fatores de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que é a matriz adjunta. A adjunta de uma matriz , denotada por , é a transposta da matriz dos co-fatores de . Ou seja, se é a matriz dos co-fatores de , então .
Passo 3
Agora, vamos calcular os co-fatores de cada elemento da matriz . Para uma matriz , os co-fatores são simples de encontrar. Para o elemento , o co-fator é dado por:
Onde é o determinante da matriz que sobra quando removemos a linha e a coluna de .
Passo 4
Vamos calcular os co-fatores para cada elemento de :
Co-fator de (posição (1,1)):
Co-fator de (posição (1,2)):
Co-fator de (posição (2,1)):
Co-fator de (posição (2,2)):
Passo 5
Com os co-fatores calculados, a matriz dos co-fatores fica:
Passo 6
Agora, para encontrar a matriz adjunta , basta tomar a transposta de :