Dada a matriz A=[ai j]n times n, definimos a matriz adjunta de A por barA=B^T, em que B=[Ai j]n times n e Ai j é o co-fator do elemento ai j da matriz A.
(a) Determine a adjunta da matriz M=[lla & b c & d], onde a, b, c, d in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a adjunta da matriz a & b c & d . Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a matriz adjunta e como calcular os co-fatores de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é a matriz adjunta. A adjunta de uma matriz , denotada por , é a transposta da matriz dos co-fatores de . Ou seja, se é a matriz dos co-fatores de , então .

Passo 3

Agora, vamos calcular os co-fatores de cada elemento da matriz Aij = (-1)^i+j cdot det(Mij) . Para uma matriz , os co-fatores são simples de encontrar. Para o elemento , o co-fator é dado por:
Onde é o determinante da matriz que sobra quando removemos a linha e a coluna de .

Passo 4

Vamos calcular os co-fatores para cada elemento de A11 = (-1)^1+1 cdot det d = 1 cdot d = d :
  1. Co-fator de A12 = (-1)^1+2 cdot det c = -1 cdot c = -c (posição (1,1)):
    A21 = (-1)^2+1 cdot det b = -1 cdot b = -b
  2. Co-fator de A22 = (-1)^2+2 cdot det a = 1 cdot a = a (posição (1,2)):
  3. Co-fator de (posição (2,1)):
  4. Co-fator de (posição (2,2)):

Passo 5

Com os co-fatores calculados, a matriz dos co-fatores B = A11 & A12 A21 & A22 = d & -c -b & a fica:

Passo 6

Agora, para encontrar a matriz adjunta barM = B^T = d & -c -b & a ^T = d & -b -c & a , basta tomar a transposta de :

Resposta

A adjunta da matriz a & b c & d é:
barM = d & -b -c & a

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