Dada a matriz , definimos a matriz adjunta de por , em que e é o co-fator do elemento da matriz .
(a) Determine a adjunta da matriz , onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a adjunta da matriz . Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a matriz adjunta e como calcular os co-fatores de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é a matriz adjunta. A adjunta de uma matriz , denotada por , é a transposta da matriz dos co-fatores de . Ou seja, se é a matriz dos co-fatores de , então .

Passo 3

Agora, vamos calcular os co-fatores de cada elemento da matriz . Para uma matriz , os co-fatores são simples de encontrar. Para o elemento , o co-fator é dado por:
Onde é o determinante da matriz que sobra quando removemos a linha e a coluna de .

Passo 4

Vamos calcular os co-fatores para cada elemento de :
  1. Co-fator de (posição (1,1)):
  2. Co-fator de (posição (1,2)):
  3. Co-fator de (posição (2,1)):
  4. Co-fator de (posição (2,2)):

Passo 5

Com os co-fatores calculados, a matriz dos co-fatores fica:

Passo 6

Agora, para encontrar a matriz adjunta , basta tomar a transposta de :

Resposta

A adjunta da matriz é:

Exercícios relacionados

Considere a matriz .
(a) Pelo processo de Gauss-Jordan (escalonamento), calcule .
Seja , onde sempre que , uma matriz invertível.
(a) O que se pode afirmar sobre o co-fator do elemento ?
Dada a matriz , definimos a matriz adjunta de por , em que e é o co-fator do elemento da matriz .
(b) Sabendo que determine onde é a matriz do item (a).
Use o processo de escalonamento e as propriedades de determinantes para calcular o determinante da matriz . Explique cada passo através das proprieddes.