Considere a matriz
A=[cccc 1 & 2 & 3 & 3 0 & 1 & 3 & 4 2 & 1 & 0 & -2 2 & 0 & 2 & 2 ]
© Resolva o sistema A X=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma matriz e precisamos resolver o sistema . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente de sistemas lineares e espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar a matriz e encontrar as soluções para as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações representado pela matriz 1x1 + 2x2 + 3x3 + 3x4 = 0 0x1 + 1x2 + 3x3 + 4x4 = 0 2x1 + 1x2 + 0x3 - 2x4 = 0 2x1 + 0x2 + 2x3 + 2x4 = 0 :
Nosso objetivo é encontrar os valores de e que satisfazem todas essas equações ao mesmo tempo.

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes (que são zero nesse caso):
1 & 2 & 3 & 3 & | & 0 0 & 1 & 3 & 4 & | & 0 2 & 1 & 0 & -2 & | & 0 2 & 0 & 2 & 2 & | & 0
Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para transformar essa matriz em uma forma mais simples, facilitando a resolu��ão do sistema.

Passo 4

Primeiro, vamos eliminar os 2 - 2 times 1 = 0 1 - 2 times 2 = -3 0 - 2 times 3 = -6 -2 - 2 times 3 = -8 das linhas 3 e 4 usando a linha 1.
  • Linha 3: 2 - 2 times 1 = 0 0 - 2 times 2 = -4 2 - 2 times 3 = -4 2 - 2 times 3 = -4
1 & 2 & 3 & 3 & | & 0 0 & 1 & 3 & 4 & | & 0 0 & -3 & -6 & -8 & | & 0 0 & -4 & -4 & -4 & | & 0
  • Linha 4:
A matriz agora fica:

Passo 5

Agora, vamos eliminar o 0 + 3 times 0 = 0 -3 + 3 times 1 = 0 -6 + 3 times 3 = 3 -8 + 3 times 4 = 4 das linhas 3 e 4 usando a linha 2.
  • Linha 3: 0 + 4 times 0 = 0 -4 + 4 times 1 = 0 -4 + 4 times 3 = 8 -4 + 4 times 4 = 12
1 & 2 & 3 & 3 & | & 0 0 & 1 & 3 & 4 & | & 0 0 & 0 & 3 & 4 & | & 0 0 & 0 & 8 & 12 & | & 0
  • Linha 4:
A matriz atualizada fica:

Passo 6

Vamos simplificar a linha 4 usando a linha 3.
  • Linha 4: 0 - 83 times 0 = 0 0 - 83 times 0 = 0 8 - 83 times 3 = 0 12 - 83 times 4 = 12 - 323 = 43
1 & 2 & 3 & 3 & | & 0 0 & 1 & 3 & 4 & | & 0 0 & 0 & 3 & 4 & | & 0 0 & 0 & 0 & 43 & | & 0
A matriz fica:

Passo 7

Agora, vamos resolver as equações a partir de baixo para cima.
Da linha 4:
43x4 = 0 implies x4 = 0
Da linha 3:
3x3 + 4x4 = 0 implies 3x3 = 0 implies x3 = 0
Da linha 2:
x2 + 3x3 + 4x4 = 0 implies x2 = 0
Da linha 1:
x1 + 2x2 + 3x3 + 3x4 = 0 implies x1 = 0

Resposta

A única solução para o sistema x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0 é . Ou seja,

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