Considere a matriz
A=[cccc 1 & 2 & 3 & 3 0 & 1 & 3 & 4 2 & 1 & 0 & -2 2 & 0 & 2 & 2 ]
(b) O sistema AX=B, onde B=[2,1,0,0]^t possui quantas soluções?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um sistema linear representado por , onde é uma matriz 4x4 e é um vetor coluna . Nosso objetivo aqui é descobrir quantas soluções esse sistema possui. Para isso, vamos usar o conteúdo de sistemas lineares e espaços vetoriais, e vamos precisar analisar a matriz aumentada e o posto das matrizes envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada, que é a matriz [cccc|c 1 & 2 & 3 & 3 & 2 0 & 1 & 3 & 4 & 1 2 & 1 & 0 & -2 & 0 2 & 0 & 2 & 2 & 0 ] com o vetor anexado como uma nova coluna. Ficaria assim:

Passo 3

Agora, vamos realizar operações elementares de linha para simplificar essa matriz aumentada e levá-la à forma escalonada. Primeiro, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
R3 = R3 - 2R1 Rightarrow [2-2(1), 1-2(2), 0-2(3), -2-2(3), 0-2(2)] = [0, -3, -6, -8, -4]
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da quarta linha:
R4 = R4 - 2R1 Rightarrow [2-2(1), 0-2(2), 2-2(3), 2-2(3), 0-2(2)] = [0, -4, -4, -4, -4]

Passo 4

A matriz agora fica assim:
[cccc|c 1 & 2 & 3 & 3 & 2 0 & 1 & 3 & 4 & 1 0 & -3 & -6 & -8 & -4 0 & -4 & -4 & -4 & -4 ]
Vamos simplificar mais. Vamos eliminar o segundo elemento da terceira e quarta linhas usando a segunda linha.
Multiplicando a segunda linha por 3 e somando à terceira linha:
R3 = R3 + 3R2 Rightarrow [0, -3+3(1), -6+3(3), -8+3(4), -4+3(1)] = [0, 0, 3, 4, -1]
Multiplicando a segunda linha por 4 e somando à quarta linha:
R4 = R4 + 4R2 Rightarrow [0, -4+4(1), -4+4(3), -4+4(4), -4+4(1)] = [0, 0, 8, 12, 0]

Passo 5

Agora, a matriz fica:
[cccc|c 1 & 2 & 3 & 3 & 2 0 & 1 & 3 & 4 & 1 0 & 0 & 3 & 4 & -1 0 & 0 & 8 & 12 & 0 ]
Vamos agora simplificar as linhas 3 e 4. Podemos dividir a terceira linha por 3:
R3 = 13R3 Rightarrow [0, 0, 1, 43, -13]
E simplificar a quarta linha:
R4 = R4 - 8R3 Rightarrow [0, 0, 8-8(1), 12-8(43), 0-8(-13)] = [0, 0, 0, 12 - 3231, 83]
Simplificando mais:
12 times 3 - 323 = 36 - 323 = 43
Então:
R4 = [0, 0, 0, 43, 83]

Passo 6

A matriz agora é:
[cccc|c 1 & 2 & 3 & 3 & 2 0 & 1 & 3 & 4 & 1 0 & 0 & 1 & 43 & -13 0 & 0 & 0 & 43 & 83 ]
Vamos multiplicar a quarta linha por R4 = 34R4 Rightarrow [0, 0, 0, 1, 2] para simplificar:

Passo 7

Agora, a matriz está na forma escalonada reduzida:
[cccc|c 1 & 2 & 3 & 3 & 2 0 & 1 & 3 & 4 & 1 0 & 0 & 1 & 43 & -13 0 & 0 & 0 & 1 & 2 ]
Podemos ver que não há nenhuma linha com todos os coeficientes iguais a zero na parte dos coeficientes e um número não zero na coluna aumentada, o que indica que o sistema é compatível e determinado.

Resposta

O sistema possui uma única solução.

Exercícios relacionados