Então, vamos lá! A gente tem um sistema linear representado por , onde é uma matriz 4x4 e é um vetor coluna . Nosso objetivo aqui é descobrir quantas soluções esse sistema possui. Para isso, vamos usar o conteúdo de sistemas lineares e espaços vetoriais, e vamos precisar analisar a matriz aumentada e o posto das matrizes envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada, que é a matriz com o vetor anexado como uma nova coluna. Ficaria assim:
Passo 3
Agora, vamos realizar operações elementares de linha para simplificar essa matriz aumentada e levá-la à forma escalonada. Primeiro, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da quarta linha:
Passo 4
A matriz agora fica assim:
Vamos simplificar mais. Vamos eliminar o segundo elemento da terceira e quarta linhas usando a segunda linha.
Multiplicando a segunda linha por 3 e somando à terceira linha:
Multiplicando a segunda linha por 4 e somando à quarta linha:
Passo 5
Agora, a matriz fica:
Vamos agora simplificar as linhas 3 e 4. Podemos dividir a terceira linha por 3:
E simplificar a quarta linha:
Simplificando mais:
Então:
Passo 6
A matriz agora é:
Vamos multiplicar a quarta linha por para simplificar:
Passo 7
Agora, a matriz está na forma escalonada reduzida:
Podemos ver que não há nenhuma linha com todos os coeficientes iguais a zero na parte dos coeficientes e um número não zero na coluna aumentada, o que indica que o sistema é compatível e determinado.