Sejam
B=[llll 2 & 1 & 4 & 3 0 & 3 & 4 & pi 0 & 0 & 3 & 8 0 & 0 & 0 & 1 ] e C=[cccc 1 & 7 & 4 & 2 0 & 1 & 0 & 0 2 & 3 & -2 & 1 0 & 4 & 1 & 2 ]
e seja A=raiz2 B C.
(a) Calcule os determinantes de B e C.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas matrizes, e , e uma terceira matriz que é o produto de , e . A parte (a) da questão quer que a gente calcule os determinantes das matrizes e .
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o determinante de uma matriz, especialmente de matrizes triangulares e de matrizes quaisquer usando métodos como a regra de Sarrus ou expansão de cofatores.

Passo 2

Vamos começar calculando o determinante da matriz B = 2 & 1 & 4 & 3 0 & 3 & 4 & pi 0 & 0 & 3 & 8 0 & 0 & 0 & 1 . Observando a matriz det(B) = 2 times 3 times 3 times 1 = 18 :
Percebemos que é uma matriz triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Uma propriedade importante das matrizes triangulares é que o determinante delas é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Então, para :

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz C = 1 & 7 & 4 & 2 0 & 1 & 0 & 0 2 & 3 & -2 & 1 0 & 4 & 1 & 2 . A matriz 1 & 4 & 2 2 & -2 & 1 0 & 1 & 2 é:
det = 1 times (-2) times 2 + 4 times 1 times 0 + 2 times 2 times 1 - 2 times (-2) times 0 - 4 times 2 times 1 - 1 times 1 times 2
Para calcular o determinante de det = (-4) + 0 + 4 - 0 - 8 - 2 = -10 , podemos usar a expansão de cofatores. Vou te mostrar um jeito passo a passo:
  1. Escolhemos uma linha ou coluna com zeros para facilitar a conta. Vamos escolher a segunda linha, que tem dois zeros.
  2. O determinante é a soma dos produtos dos elementos da linha pela seus cofatores. Mas como temos zeros, apenas o elemento não zero conta.
  3. O elemento na posição (2,2) é 1. O cofator correspondente é o determinante da matriz que sobra quando retiramos a segunda linha e segunda coluna.
Então, precisamos calcular o determinante da submatriz:
det(C) = 1 times (-10) = -10
  1. Para essa submatriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus:
Então, o cofator é .
Logo, o determinante de é:

Resposta

O determinante de é 18 e o determinante de é -10.

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