Sejam
e seja .
(a) Calcule os determinantes de e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas matrizes, e , e uma terceira matriz que é o produto de , e . A parte (a) da questão quer que a gente calcule os determinantes das matrizes e .
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o determinante de uma matriz, especialmente de matrizes triangulares e de matrizes quaisquer usando métodos como a regra de Sarrus ou expansão de cofatores.

Passo 2

Vamos começar calculando o determinante da matriz . Observando a matriz :
Percebemos que é uma matriz triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Uma propriedade importante das matrizes triangulares é que o determinante delas é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Então, para :

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz . A matriz é:
Para calcular o determinante de , podemos usar a expansão de cofatores. Vou te mostrar um jeito passo a passo:
  1. Escolhemos uma linha ou coluna com zeros para facilitar a conta. Vamos escolher a segunda linha, que tem dois zeros.
  2. O determinante é a soma dos produtos dos elementos da linha pela seus cofatores. Mas como temos zeros, apenas o elemento não zero conta.
  3. O elemento na posição (2,2) é 1. O cofator correspondente é o determinante da matriz que sobra quando retiramos a segunda linha e segunda coluna.
Então, precisamos calcular o determinante da submatriz:
  1. Para essa submatriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus:
Então, o cofator é .
Logo, o determinante de é:

Resposta

O determinante de é 18 e o determinante de é -10.

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(b) O sistema , onde possui quantas soluções?
Sejam
e seja .
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