Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular o determinante da matriz :
O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de determinantes de matrizes quadradas, mais especificamente de uma matriz 4x4. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir determinantes por cofatores e usar operações de linha para simplificar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz maior que 2x2 pode ser calculado usando a expansão por cofatores. Isso significa que vamos escolher uma linha ou coluna e calcular uma soma que envolve menores determinantes de submatrizes menores. A escolha da linha ou coluna com mais zeros facilita os cálculos, mas no nosso caso, a segunda linha já tem um zero, o que pode ajudar.
Passo 3
Vamos optar por expandir o determinante pela segunda linha, já que ela contém um zero, o que simplifica as coisas. A segunda linha é . A fórmula para a expansão de cofatores na segunda linha é:
Onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.
Passo 4
Vamos calcular cada termo da soma:
Para :
Como o elemento é zero, o termo inteiro será zero, então podemos ignorar esse termo na soma.
Para :
O cofator é dado por , onde é o menor da matriz removendo a segunda linha e segunda coluna.
será:
Para :
O cofator .
será:
Para :
O cofator .
será:
Passo 5
Agora, vamos calcular cada determinante desses menores 3x3.
Calculando :
Usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
Simplificando:
Calculando :
Aplicando a regra de Sarrus:
Simplificando:
Calculando :
Usando a regra de Sarrus:
Simplificando:
Passo 6
Agora que temos os determinantes dos menores, vamos calcular os cofatores e somar tudo: