Considere a matriz
(a) Calcule o determinante da matriz .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular o determinante da matriz :
O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de determinantes de matrizes quadradas, mais especificamente de uma matriz 4x4. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir determinantes por cofatores e usar operações de linha para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz maior que 2x2 pode ser calculado usando a expansão por cofatores. Isso significa que vamos escolher uma linha ou coluna e calcular uma soma que envolve menores determinantes de submatrizes menores. A escolha da linha ou coluna com mais zeros facilita os cálculos, mas no nosso caso, a segunda linha já tem um zero, o que pode ajudar.

Passo 3

Vamos optar por expandir o determinante pela segunda linha, já que ela contém um zero, o que simplifica as coisas. A segunda linha é . A fórmula para a expansão de cofatores na segunda linha é:
Onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.

Passo 4

Vamos calcular cada termo da soma:
  1. Para :
    Como o elemento é zero, o termo inteiro será zero, então podemos ignorar esse termo na soma.
  2. Para :
    O cofator é dado por , onde é o menor da matriz removendo a segunda linha e segunda coluna.
    será:
  3. Para :
    O cofator .
    será:
  4. Para :
    O cofator .
    será:

Passo 5

Agora, vamos calcular cada determinante desses menores 3x3.
  1. Calculando :
    Usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
    Simplificando:
  2. Calculando :
    Aplicando a regra de Sarrus:
    Simplificando:
  3. Calculando :
    Usando a regra de Sarrus:
    Simplificando:

Passo 6

Agora que temos os determinantes dos menores, vamos calcular os cofatores e somar tudo:
  1. Para :
    Então, a contribuição desse termo é .
  2. Para :
    Então, a contribuição desse termo é .
  3. Para :
    Então, a contribuição desse termo é .

Passo 7

Agora, somamos todas as contribuições:

Resposta

O determinante da matriz é .

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