Seja A=[ccc1 & -1 & 0 0 & 1 & 1 3 & 4 & 5]
(b) Encontre ttodas as soluções do sistema A X=B, onde B=[2,5,8]^t.

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações dado por A = 1 & -1 & 0 0 & 1 & 1 3 & 4 & 5 , B = 2 5 8 , onde:
Matéria envolvida: Álgebra Linear, mais especificamente, resolução de sistemas lineares utilizando matrizes.
O que vamos precisar: Métodos de resolução de sistemas lineares, como a eliminação de Gauss ou cálculo da matriz inversa, além de conhecer operações básicas com matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o sistema 1x - 1y + 0z = 2 0x + 1y + 1z = 5 3x + 4y + 5z = 8 representa três equações lineares com três incógnitas (vamos chamar as incógnitas de , e ):
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem todas essas equações simultaneamente.

Passo 3

Vamos usar o método da eliminação de Gauss para simplificar o sistema e encontrar as soluções.
Passo 3.1: Escrevemos o sistema em forma de matriz aumentada:
1 & -1 & 0 & | & 2 0 & 1 & 1 & | & 5 3 & 4 & 5 & | & 8
Passo 3.2: Queremos zerar o elemento abaixo do primeiro pivô (que é 1 na posição (1,1)). Para isso, subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
R3 = R3 - 3R1
Calculando:
3 - 3*1 = 0 4 - 3*(-1) = 4 + 3 = 7 5 - 3*0 = 5 8 - 3*2 = 8 - 6 = 2
Assim, a matriz fica:
1 & -1 & 0 & | & 2 0 & 1 & 1 & | & 5 0 & 7 & 5 & | & 2

Passo 4

Agora, queremos zerar o elemento abaixo do segundo pivô (que é 1 na posição (2,2)). Para isso, subtraímos 7 vezes a segunda linha da terceira linha:
R3 = R3 - 7R2
Calculando:
0 - 7*0 = 0 7 - 7*1 = 0 5 - 7*1 = 5 - 7 = -2 2 - 7*5 = 2 - 35 = -33
A matriz fica:
1 & -1 & 0 & | & 2 0 & 1 & 1 & | & 5 0 & 0 & -2 & | & -33

Passo 5

Agora, temos a matriz triangular superior, o que facilita encontrar as soluções por retro-substituição.
Equação da terceira linha:
-2z = -33 implies z = -33-2 = 332
Equação da segunda linha:
y + z = 5 implies y = 5 - z = 5 - 332 = 102 - 332 = -232
Equação da primeira linha:
x - y = 2 implies x = 2 + y = 2 + ( -232 ) = 42 - 232 = -192

Resposta

A solução do sistema é:
x = -192, y = -232, z = 332
Ou, em forma de vetor:
X = -dfrac192 -dfrac232 dfrac332

Exercícios relacionados