Seja
(b) Encontre ttodas as soluções do sistema , onde .
Passo 1
Vamos resolver o sistema de equações dado por , onde:
Matéria envolvida: Álgebra Linear, mais especificamente, resolução de sistemas lineares utilizando matrizes.
O que vamos precisar: Métodos de resolução de sistemas lineares, como a eliminação de Gauss ou cálculo da matriz inversa, além de conhecer operações básicas com matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o sistema representa três equações lineares com três incógnitas (vamos chamar as incógnitas de , e ):
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem todas essas equações simultaneamente.
Passo 3
Vamos usar o método da eliminação de Gauss para simplificar o sistema e encontrar as soluções.
Passo 3.1: Escrevemos o sistema em forma de matriz aumentada:
Passo 3.2: Queremos zerar o elemento abaixo do primeiro pivô (que é 1 na posição (1,1)). Para isso, subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
Calculando:
Assim, a matriz fica:
Passo 4
Agora, queremos zerar o elemento abaixo do segundo pivô (que é 1 na posição (2,2)). Para isso, subtraímos 7 vezes a segunda linha da terceira linha:
Calculando:
A matriz fica:
Passo 5
Agora, temos a matriz triangular superior, o que facilita encontrar as soluções por retro-substituição.