Considere a matriz
A=(cccc 1 & 2 & -1 & 1 2 & 4 & -3 & 0 1 & 2 & 1 & 5 )
Determine os espaços linha, coluna e nulo de A, exibindo bases e determinando as dimensões desses respectivos espaços.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e precisamos encontrar três coisas importantes dela: o espaço linha, o espaço coluna e o espaço nulo. Esses conceitos fazem parte da álgebra linear e nos ajudam a entender melhor as propriedades da matriz. Para resolver isso, vamos precisar usar operações de linha para simplificar a matriz e identificar as bases e dimensões desses espaços.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a forma escalonada da matriz A = 1 & 2 & -1 & 1 2 & 4 & -3 & 0 1 & 2 & 1 & 5 . Isso significa que vamos usar operações de linha para deixar a matriz mais simples, com zeros abaixo dos pivôs (os primeiros números diferentes de zero em cada linha). A matriz dada é:

Passo 3

Vamos fazer a primeira operação de linha para zerar o elemento abaixo do primeiro pivô (que é 1 na posição (1,1)). Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
R2 = R2 - 2R1 1 & 2 & -1 & 1 0 & 0 & -1 & -2 1 & 2 & 1 & 5

Passo 4

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do primeiro pivô na terceira linha. Subtraímos a primeira linha da terceira linha:
R3 = R3 - R1 1 & 2 & -1 & 1 0 & 0 & -1 & -2 0 & 0 & 2 & 4

Passo 5

Vamos simplificar a terceira linha. Observe que a terceira linha atual é R3 = 12R3 1 & 2 & -1 & 1 0 & 0 & -1 & -2 0 & 0 & 1 & 2 . Podemos dividir toda a linha por 2 para simplificar:

Passo 6

Agora, vamos zerar o elemento acima do pivô na terceira coluna usando a terceira linha. Adicionamos a terceira linha à segunda linha:
R2 = R2 + R3 1 & 2 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 2

Passo 7

Nossa matriz está agora na forma escalonada reduzida por linhas:
1 & 2 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 2
Isso nos mostra que temos dois pivôs: um na primeira coluna e outro na terceira coluna.

Passo 8

Espaço Linha: É o conjunto de todas as combinações lineares das linhas da matriz. As linhas não nulas da forma escalonada são:
1 & 2 & -1 & 1 , 0 & 0 & 1 & 2
Então, uma base para o espaço linha é:
1 & 2 & -1 & 1, 0 & 0 & 1 & 2
A dimensão do espaço linha é 2, já que temos duas linhas na base.

Passo 9

Espaço Coluna: É o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz original. Para encontrar a base do espaço coluna, olhamos para as colunas da matriz original que correspondem aos pivôs na forma escalonada. Os pivôs estão nas colunas 1 e 3, então as colunas correspondentes da matriz original são:
1 2 1 , -1 -3 1
Portanto, uma base para o espaço coluna é:
1 2 1, -1 -3 1
A dimensão do espaço coluna também é 2.

Passo 10

Espaço Nulo: É o conjunto de todas as soluções do sistema homogêneo x3 = -2x4 . A partir da forma escalonada reduzida, temos as seguintes equações:
  1. x1 + 2x2 - (-2x4) + x4 = 0 x1 + 2x2 + 2x4 + x4 = 0 x1 + 2x2 + 3x4 = 0 x1 = -2x2 - 3x4
  2. x = x1 x2 x3 x4 = -2x2 - 3x4 x2 -2x4 x4 = x2 -2 1 0 0 + x4 -3 0 -2 1
Vamos resolver esse sistema:
Da segunda equação:
-2 1 0 0, -3 0 -2 1
Substituindo na primeira equação:
As variáveis livres são e . Então, podemos expressar a solução como:
Então, uma base para o espaço nulo é:
A dimensão do espaço nulo é 2, pois temos duas vetores na base.

Resposta

  • Espaço Linha:
    • Base: 1 & 2 & -1 & 1
    • Dimensão: 2
  • Espaço Coluna:
    • Base: 0 & 0 & 1 & 2
    • Dimensão: 2
  • Espaço Nulo:
    • Base: 1 2 1
    • Dimensão: 2

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