Determine os espaços linha, coluna e nulo de A, exibindo bases e determinando as dimensões desses respectivos espaços.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e precisamos encontrar três coisas importantes dela: o espaço linha, o espaço coluna e o espaço nulo. Esses conceitos fazem parte da álgebra linear e nos ajudam a entender melhor as propriedades da matriz. Para resolver isso, vamos precisar usar operações de linha para simplificar a matriz e identificar as bases e dimensões desses espaços.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a forma escalonada da matriz A = 1 & 2 & -1 & 1 2 & 4 & -3 & 0 1 & 2 & 1 & 5 . Isso significa que vamos usar operações de linha para deixar a matriz mais simples, com zeros abaixo dos pivôs (os primeiros números diferentes de zero em cada linha). A matriz dada é:
Passo 3
Vamos fazer a primeira operação de linha para zerar o elemento abaixo do primeiro pivô (que é 1 na posição (1,1)). Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Vamos simplificar a terceira linha. Observe que a terceira linha atual é R3 = 12R3 1 & 2 & -1 & 1 0 & 0 & -1 & -2 0 & 0 & 1 & 2 . Podemos dividir toda a linha por 2 para simplificar:
Passo 6
Agora, vamos zerar o elemento acima do pivô na terceira coluna usando a terceira linha. Adicionamos a terceira linha à segunda linha:
Nossa matriz está agora na forma escalonada reduzida por linhas:
1 & 2 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 2
Isso nos mostra que temos dois pivôs: um na primeira coluna e outro na terceira coluna.
Passo 8
Espaço Linha: É o conjunto de todas as combinações lineares das linhas da matriz. As linhas não nulas da forma escalonada são:
1 & 2 & -1 & 1 , 0 & 0 & 1 & 2
Então, uma base para o espaço linha é:
1 & 2 & -1 & 1, 0 & 0 & 1 & 2
A dimensão do espaço linha é 2, já que temos duas linhas na base.
Passo 9
Espaço Coluna: É o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz original. Para encontrar a base do espaço coluna, olhamos para as colunas da matriz original que correspondem aos pivôs na forma escalonada. Os pivôs estão nas colunas 1 e 3, então as colunas correspondentes da matriz original são:
1 2 1 , -1 -3 1
Portanto, uma base para o espaço coluna é:
1 2 1, -1 -3 1
A dimensão do espaço coluna também é 2.
Passo 10
Espaço Nulo: É o conjunto de todas as soluções do sistema homogêneo x3 = -2x4 . A partir da forma escalonada reduzida, temos as seguintes equações: