Dadas as matrizes , e , calcule.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá duas matrizes, A e B, mas a gente vai focar na matriz A. A pergunta é para calcular o determinante da inversa dessa matriz A, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender o que é determinante e como ele se relaciona com a matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante é um número que a gente calcula a partir de uma matriz quadrada e que tem várias propriedades úteis. Uma dessas propriedades é que o determinante da matriz inversa é igual a 1 dividido pelo determinante da matriz original. Em fórmula:
Então, para encontrar , precisamos primeiro calcular .

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz A. A matriz A é:
Para uma matriz 2x2, o determinante é calculado assim:
onde:
Aplicando os valores de A:

Passo 4

Agora que sabemos que , podemos usar a propriedade que mencionamos para encontrar :

Resposta

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Sabendo que é outra base de , encontre, para usando mudança de base. Deixe explícito todas as matrizes de mudança de base que utilizar.
Mostre que é uma base para . Depois encontre a as coordenadas de nesta base; isto é, determine .
Considere a matriz
Determine os espaços linha, coluna e nulo de , exibindo bases e determinando as dimensões desses respectivos espaços.
Supondo as matrizes e são quadradas de ordem e inversíveis, e a matriz identidade de ordem . Resolva as equações matriciais na variável .
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