Supondo as matrizes A, B, C e D são quadradas de ordem n e inversíveis, e In a matriz identidade de ordem n. Resolva as equações matriciais na variável X.
2 cdot A cdot X cdot B^T-C^T=B^-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação envolvendo matrizes quadradas invertíveis de ordem . A equação é e precisamos resolver essa equação para encontrar a matriz . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra matricial, como inversas de matrizes e propriedades de multiplicação.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar o termo que envolve 2 cdot A cdot X cdot B^T = B^-1 + C^T . Para isso, vamos mover o para o outro lado da equação adicionando em ambos os lados:

Passo 3

Agora, queremos deixar o A cdot X cdot B^T = 12 ( B^-1 + C^T ) sozinho. Para isso, vamos eliminar o , o e o que estão multiplicando o .
Primeiro, dividimos ambos os lados por 2:

Passo 4

Em seguida, para eliminar o X cdot B^T = A^-1 cdot 12 ( B^-1 + C^T ) que está à esquerda do , multiplicamos ambos os lados pela inversa de , que é . Lembrando que (a matriz identidade), temos:

Passo 5

Agora, precisamos eliminar o X = 12 cdot A^-1 ( B^-1 + C^T ) cdot (B^-1)^T que está à direita do . Para isso, multiplicamos ambos os lados pela inversa de . Sabemos que a inversa da transposta é a transposta da inversa, ou seja, :

Resposta

A solução para a matriz X = 12 cdot A^-1 ( B^-1 + C^T ) cdot (B^-1)^T é:

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