Supondo as matrizes A, B, C e D são quadradas de ordem n e inversíveis, e In a matriz identidade de ordem n. Resolva as equações matriciais na variável X.
A cdot X+B=In;

Passo 1

Beleza, a gente tem a equação matricial . Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com equações envolvendo matrizes e suas inversas. Para resolver essa equação e encontrar a matriz , vamos precisar usar propriedades das matrizes inversas e manipular a equação para isolar o .

Passo 2

Primeiro, vamos eliminar a matriz A cdot X = In - B da equação. Como está adicionada a , a gente pode subtrair de ambos os lados para começar a isolar o :
Isso simplifica a equação para uma forma onde está multiplicado apenas por .

Passo 3

Agora, para isolar completamente o A^-1 cdot (A cdot X) = A^-1 cdot (In - B) , precisamos “desfazer” a multiplicação por . Como é uma matriz inversível, a gente pode multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de , que é . Lembrando que a propriedade das matrizes diz que :

Passo 4

Simplificando o lado esquerdo da equação usando a propriedade mencionada:
In cdot X = A^-1 cdot (In - B)
E como qualquer matriz multiplicada pela identidade X = A^-1 cdot (In - B) continua igual, temos:

Resposta

A solução da equação matricial é:
X = A^-1 cdot (In - B)

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