Sabendo que é outra base de , encontre, para usando mudança de base. Deixe explícito todas as matrizes de mudança de base que utilizar.

Passo 1

Estamos tentando encontrar as coordenadas do vetor na base do espaço tridimensional . Para isso, vamos utilizar o conceito de mudança de base, que nos permite expressar um vetor em termos de uma nova base diferente da base canônica. Precisaremos montar a matriz de mudança de base e resolver um sistema de equações para encontrar as coordenadas desejadas.

Passo 2

Primeiro, vamos construir a matriz de mudança de base a partir da base . Essa matriz, que chamaremos de , é formada colocando os vetores da base como colunas:

Passo 3

A ideia é encontrar um vetor coluna tal que:
Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações lineares:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Podemos usar o método da eliminação de Gauss.
Primeiro, escrevemos o sistema na forma aumentada:
Subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira para eliminar o :
Agora, resolvemos de baixo para cima:
Da terceira equação:
Substituímos na segunda equação:
Finalmente, substituímos e na primeira equação:

Resposta

As coordenadas do vetor na base são:

Exercícios relacionados

Mostre que é uma base para . Depois encontre a as coordenadas de nesta base; isto é, determine .
Seja . Defina
  • adição: se e , então ;
  • multiplicação por escalar: se , então .
    Quais das propriedades na definição de espaço vetorial não são válidas para com essas operações?
Dadas as matrizes , e , calcule.
.
Considere a matriz
Determine os espaços linha, coluna e nulo de , exibindo bases e determinando as dimensões desses respectivos espaços.