Sabendo que é outra base de , encontre, para usando mudança de base. Deixe explícito todas as matrizes de mudança de base que utilizar.
Passo 1
Estamos tentando encontrar as coordenadas do vetor na base do espaço tridimensional . Para isso, vamos utilizar o conceito de mudança de base, que nos permite expressar um vetor em termos de uma nova base diferente da base canônica. Precisaremos montar a matriz de mudança de base e resolver um sistema de equações para encontrar as coordenadas desejadas.
Passo 2
Primeiro, vamos construir a matriz de mudança de base a partir da base . Essa matriz, que chamaremos de , é formada colocando os vetores da base como colunas:
Passo 3
A ideia é encontrar um vetor coluna tal que:
Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações lineares:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Podemos usar o método da eliminação de Gauss.
Primeiro, escrevemos o sistema na forma aumentada:
Subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira para eliminar o :