Sabendo que beta2=(1,1,1),(2,3,2),(1,5,4) é outra base de E^3, encontre, para v=(1,-1,1),[v]beta2 usando mudança de base. Deixe explícito todas as matrizes de mudança de base que utilizar.

Passo 1

Estamos tentando encontrar as coordenadas do vetor v = (1, -1, 1) na base beta2 = (1,1,1), (2,3,2), (1,5,4) do espaço tridimensional E^3. Para isso, vamos utilizar o conceito de mudança de base, que nos permite expressar um vetor em termos de uma nova base diferente da base canônica. Precisaremos montar a matriz de mudança de base e resolver um sistema de equações para encontrar as coordenadas desejadas.

Passo 2

Primeiro, vamos construir a matriz de mudança de base a partir da base beta2. Essa matriz, que chamaremos de P, é formada colocando os vetores da base beta2 como colunas:
P = 1 & 2 & 1 1 & 3 & 5 1 & 2 & 4

Passo 3

A ideia é encontrar um vetor coluna [v]beta2 = x y z tal que:
P cdot x y z = v = 1 -1 1
Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações lineares:
1x + 2y + 1z = 1 1x + 3y + 5z = -1 1x + 2y + 4z = 1

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Podemos usar o método da eliminação de Gauss.
Primeiro, escrevemos o sistema na forma aumentada:
1 & 2 & 1 & | & 1 1 & 3 & 5 & | & -1 1 & 2 & 4 & | & 1
Subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira para eliminar o x:
1 & 2 & 1 & | & 1 0 & 1 & 4 & | & -2 0 & 0 & 3 & | & 0
Agora, resolvemos de baixo para cima:
Da terceira equação: 3z = 0 Rightarrow z = 0
Substituímos z = 0 na segunda equação: y + 4(0) = -2 Rightarrow y = -2
Finalmente, substituímos y = -2 e z = 0 na primeira equação: x + 2(-2) + 0 = 1 Rightarrow x - 4 = 1 Rightarrow x = 5

Resposta

As coordenadas do vetor v = (1, -1, 1) na base beta2 são:
[v]beta2 = 5 -2 0

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