Considere a matriz A=[cccc1 & 1 & 1 & 1 1 & 3 & -2 & a 2 & 2 a-2 & -a-2 & 3 a-1 3 & a+2 & -3 & 2 a+1]. Determine o conjunto solução do sistema A X=B, em que B=[lll4 & 3 & 16]^t, para todos os valores de a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear juntos! O exercício nos dá uma matriz e um vetor , e pede para encontrar todas as soluções que satisfazem a equação para qualquer valor de . Aqui, estamos trabalhando com Álgebra Linear, especificamente com sistemas lineares e métodos para resolvê-los.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever claramente o sistema de equações representado por A = 1 & 1 & 1 & 1 1 & 3 & -2 & a 2 & 2a - 2 & -a - 2 & 3a - 1 , B = 4 3 16 . A matriz X = x1 x2 x3 x4 e o vetor 1x1 + 1x2 + 1x3 + 1x4 = 4 1x1 + 3x2 - 2x3 + a x4 = 3 2x1 + (2a - 2)x2 + (-a - 2)x3 + (3a - 1)x4 = 16 são dados por:
Aqui, é o vetor de incógnitas que queremos encontrar:
Então, o sistema fica:

Passo 3

Para resolver esse sistema, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que nos permite simplificar o sistema para encontrar as soluções. O objetivo é transformar a matriz aumentada [A|B] = 1 & 1 & 1 & 1 & | & 4 1 & 3 & -2 & a & | & 3 2 & 2a - 2 & -a - 2 & 3a - 1 & | & 16 em uma forma triangular, facilitando a resolução das incógnitas.
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada:

Passo 4

Vamos começar eliminando o (1 - 1)x1 + (3 - 1)x2 + (-2 - 1)x3 + (a - 1)x4 = 3 - 4 0x1 + 2x2 - 3x3 + (a - 1)x4 = -1 das equações 2 e 3. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira.
Subtraindo a linha 1 da linha 2:
(2 - 2*1)x1 + ((2a - 2) - 2*1)x2 + (-a - 2 - 2*1)x3 + (3a - 1 - 2*1)x4 = 16 - 2*4 0x1 + (2a - 4)x2 + (-a - 4)x3 + (3a - 3)x4 = 8
Subtraindo 2 vezes a linha 1 da linha 3:
x1 + x2 + x3 + x4 = 4 2x2 - 3x3 + (a - 1)x4 = -1 (2a - 4)x2 + (-a - 4)x3 + (3a - 3)x4 = 8
Agora, nosso sistema fica:

Passo 5

Agora, vamos eliminar (2a - 4)(2x2) - (2a - 4)(3x3) + (2a - 4)(a - 1)x4 = (2a - 4)(-1) 4a x2 - 8x2 - 6a x3 + 12x3 + (2a^2 - 6a + 4)x4 = -2a + 4 da terceira equação. Para isso, multiplicamos a segunda equação por [(2a - 4)x2 + (-a - 4)x3 + (3a - 3)x4] - [4a x2 - 8x2 - 6a x3 + 12x3 + (2a^2 - 6a + 4)x4] = 8 - (-2a + 4) e subtraímos da terceira equação.
Multiplicando a segunda equação por (2a - 4 - 4a + 8)x2 + (-a - 4 + 6a - 12)x3 + (3a - 3 - 2a^2 + 6a - 4)x4 = 8 + 2a - 4 (-2a + 4)x2 + (5a - 16)x3 + (-2a^2 + 9a - 7)x4 = 2a + 4 :
Agora, subtraindo essa equação da terceira equação original:
Simplificando:

Passo 6

Agora, temos o sistema:
x1 + x2 + x3 + x4 = 4 2x2 - 3x3 + (a - 1)x4 = -1 (-2a + 4)x2 + (5a - 16)x3 + (-2a^2 + 9a - 7)x4 = 2a + 4
Vamos resolver a segunda equação para 2x2 = -1 + 3x3 - (a - 1)x4 x2 = -1 + 3x3 - (a - 1)x42 :

Passo 7

Substituindo (-2a + 4)(-1 + 3x3 - (a - 1)x42) + (5a - 16)x3 + (-2a^2 + 9a - 7)x4 = 2a + 4 na terceira equação:
(-2a + 4)(-1)2 + (-2a + 4)(3x3)2 + (-2a + 4)(-a + 1)x42 + (5a - 16)x3 + (-2a^2 + 9a - 7)x4 = 2a + 4 2a - 42 + (-6a + 12)x32 + (2a^2 - 6a + 4)x42 + (5a - 16)x3 + (-2a^2 + 9a - 7)x4 = 2a + 4 (a - 2) + (-3a + 6)x3 + (a^2 - 3a + 2)x4 + (5a - 16)x3 + (-2a^2 + 9a - 7)x4 = 2a + 4
Multiplicando e simplificando:
a - 2 + [(-3a + 6) + (5a - 16)]x3 + [(a^2 - 3a + 2) + (-2a^2 + 9a - 7)]x4 = 2a + 4 a - 2 + (2a - 10)x3 + (-a^2 + 6a - 5)x4 = 2a + 4
Agrupando termos semelhantes:

Passo 8

Agora, trazemos todos os termos para o lado esquerdo:
a - 2 + (2a - 10)x3 + (-a^2 + 6a - 5)x4 - 2a - 4 = 0 (-a^2 + 6a - 5)x4 + (2a - 10)x3 + (a - 2 - 2a - 4) = 0 (-a^2 + 6a - 5)x4 + (2a - 10)x3 - (a + 6) = 0
Simplificando:
(-a^2 + 6a - 5)x4 + (2a - 10)x3 = a + 6

Passo 9

Agora, temos uma equação com (2a - 10)x3 + (-a^2 + 6a - 5)x4 = a + 6 e (2a - 10)x3 = a + 6 - (-a^2 + 6a - 5)x4 x3 = a + 6 + a^2 - 6a + 52a - 10 + a^2 - 6a + 52a - 10x4 x3 = a^2 - 5a + 112a - 10 + a^2 - 6a + 52a - 10x4 :
Podemos resolver essa equação para uma das incógnitas em termos da outra. Vamos resolver para :

Passo 10

Agora, temos x2 = -1 + 3x3 - (a - 1)x42 em termos de x2 = -1 + 3(a^2 - 5a + 112a - 10 + a^2 - 6a + 52a - 10x4) - (a - 1)x42 . Vamos também lembrar que x2 = -1 + 3a^2 - 15a + 332a - 10 + 3a^2 - 18a + 152a - 10x4 - (a - 1)x42 foi expressado em termos de e :
Substituindo na expressão de :
Simplificando:

Passo 11

Simplificando ainda mais:
x2 = -12 + 3a^2 - 15a + 332(2a - 10) + (3a^2 - 18a + 152(2a - 10) - a - 12)x4
Esse processo nos leva a expressar e em termos de .

Passo 12

Finalmente, retornando à primeira equação para encontrar x1 + x2 + x3 + x4 = 4 :
x1 = 4 - x2 - x3 - x4
Substituindo e :
Como e já estão expressos em termos de , podemos escrever também em termos de .

Passo 13

Resumindo, todas as incógnitas são expressas em termos de , que pode ser considerado um parâmetro livre. Isso significa que o sistema possui infinitas soluções, dependendo do valor escolhido para .

Resposta

O conjunto solução do sistema x1 = 4 - x2 - x3 - x4 x2 = expressão em termos de x4 x3 = a^2 - 5a + 112a - 10 + a^2 - 6a + 52a - 10x4 x4 é um parâmetro livre para todos os valores de é dado por vetores onde:
ãéâ
Assim, o conjunto solução é infinito, dependendo do valor escolhido para .

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