Considere a matriz . Determine o conjunto solução do sistema , em que , para todos os valores de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear juntos! O exercício nos dá uma matriz e um vetor , e pede para encontrar todas as soluções que satisfazem a equação para qualquer valor de . Aqui, estamos trabalhando com Álgebra Linear, especificamente com sistemas lineares e métodos para resolvê-los.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever claramente o sistema de equações representado por . A matriz e o vetor são dados por:
Aqui, é o vetor de incógnitas que queremos encontrar:
Então, o sistema fica:
Passo 3
Para resolver esse sistema, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que nos permite simplificar o sistema para encontrar as soluções. O objetivo é transformar a matriz aumentada em uma forma triangular, facilitando a resolução das incógnitas.
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada:
Passo 4
Vamos começar eliminando o das equações 2 e 3. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira.
Subtraindo a linha 1 da linha 2:
Subtraindo 2 vezes a linha 1 da linha 3:
Agora, nosso sistema fica:
Passo 5
Agora, vamos eliminar da terceira equação. Para isso, multiplicamos a segunda equação por e subtraímos da terceira equação.
Multiplicando a segunda equação por :
Agora, subtraindo essa equação da terceira equação original:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos o sistema:
Vamos resolver a segunda equação para :
Passo 7
Substituindo na terceira equação:
Multiplicando e simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 8
Agora, trazemos todos os termos para o lado esquerdo:
Simplificando:
Passo 9
Agora, temos uma equação com e :
Podemos resolver essa equação para uma das incógnitas em termos da outra. Vamos resolver para :
Passo 10
Agora, temos em termos de . Vamos também lembrar que foi expressado em termos de e :
Substituindo na expressão de :
Simplificando:
Passo 11
Simplificando ainda mais:
Esse processo nos leva a expressar e em termos de .
Passo 12
Finalmente, retornando à primeira equação para encontrar :
Substituindo e :
Como e já estão expressos em termos de , podemos escrever também em termos de .
Passo 13
Resumindo, todas as incógnitas são expressas em termos de , que pode ser considerado um parâmetro livre. Isso significa que o sistema possui infinitas soluções, dependendo do valor escolhido para .
Resposta
O conjunto solução do sistema para todos os valores de é dado por vetores onde:
ãéâ
Assim, o conjunto solução é infinito, dependendo do valor escolhido para .