Considere a matriz . Determine o conjunto solução do sistema , em que , para todos os valores de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear juntos! O exercício nos dá uma matriz e um vetor , e pede para encontrar todas as soluções que satisfazem a equação para qualquer valor de . Aqui, estamos trabalhando com Álgebra Linear, especificamente com sistemas lineares e métodos para resolvê-los.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever claramente o sistema de equações representado por . A matriz e o vetor são dados por:
Aqui, é o vetor de incógnitas que queremos encontrar:
Então, o sistema fica:

Passo 3

Para resolver esse sistema, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que nos permite simplificar o sistema para encontrar as soluções. O objetivo é transformar a matriz aumentada em uma forma triangular, facilitando a resolução das incógnitas.
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada:

Passo 4

Vamos começar eliminando o das equações 2 e 3. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira.
Subtraindo a linha 1 da linha 2:
Subtraindo 2 vezes a linha 1 da linha 3:
Agora, nosso sistema fica:

Passo 5

Agora, vamos eliminar da terceira equação. Para isso, multiplicamos a segunda equação por e subtraímos da terceira equação.
Multiplicando a segunda equação por :
Agora, subtraindo essa equação da terceira equação original:
Simplificando:

Passo 6

Agora, temos o sistema:
Vamos resolver a segunda equação para :

Passo 7

Substituindo na terceira equação:
Multiplicando e simplificando:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 8

Agora, trazemos todos os termos para o lado esquerdo:
Simplificando:

Passo 9

Agora, temos uma equação com e :
Podemos resolver essa equação para uma das incógnitas em termos da outra. Vamos resolver para :

Passo 10

Agora, temos em termos de . Vamos também lembrar que foi expressado em termos de e :
Substituindo na expressão de :
Simplificando:

Passo 11

Simplificando ainda mais:
Esse processo nos leva a expressar e em termos de .

Passo 12

Finalmente, retornando à primeira equação para encontrar :
Substituindo e :
Como e já estão expressos em termos de , podemos escrever também em termos de .

Passo 13

Resumindo, todas as incógnitas são expressas em termos de , que pode ser considerado um parâmetro livre. Isso significa que o sistema possui infinitas soluções, dependendo do valor escolhido para .

Resposta

O conjunto solução do sistema para todos os valores de é dado por vetores onde:
ãéâ
Assim, o conjunto solução é infinito, dependendo do valor escolhido para .

Exercícios relacionados

Considere o sistema
Quais os postos das matrizes associadas? Existe grau de liberdade? Se possível, apresente a solução.
Determine a inversa da matriz
Utilizando a definição, em cada caso verifique diretamente se o vetor é autovetor da matriz , isto é, verifique se para algum (autovalor) .
(a) e
Utilizando a definição, em cada caso verifique diretamente se o vetor é autovetor da matriz , isto é, verifique se para algum (autovalor) .
(b) e