Considere a matriz . Determine o conjunto solução do sistema A X=B, em que B=[lll4 & 3 & 16]^t, para todos os valores de a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear juntos! O exercício nos dá uma matriz e um vetor , e pede para encontrar todas as soluções que satisfazem a equação para qualquer valor de . Aqui, estamos trabalhando com Álgebra Linear, especificamente com sistemas lineares e métodos para resolvê-los.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever claramente o sistema de equações representado por A = 1 & 1 & 1 & 1 1 & 3 & -2 & a 2 & 2a - 2 & -a - 2 & 3a - 1 , B = 4 3 16 . A matriz X = x1 x2 x3 x4 e o vetor 1x1 + 1x2 + 1x3 + 1x4 = 4 1x1 + 3x2 - 2x3 + a x4 = 3 2x1 + (2a - 2)x2 + (-a - 2)x3 + (3a - 1)x4 = 16 são dados por:
Aqui, é o vetor de incógnitas que queremos encontrar:
Então, o sistema fica:
Passo 3
Para resolver esse sistema, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que nos permite simplificar o sistema para encontrar as soluções. O objetivo é transformar a matriz aumentada [A|B] = 1 & 1 & 1 & 1 & | & 4 1 & 3 & -2 & a & | & 3 2 & 2a - 2 & -a - 2 & 3a - 1 & | & 16 em uma forma triangular, facilitando a resolução das incógnitas.
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada:
Passo 4
Vamos começar eliminando o (1 - 1)x1 + (3 - 1)x2 + (-2 - 1)x3 + (a - 1)x4 = 3 - 4 0x1 + 2x2 - 3x3 + (a - 1)x4 = -1 das equações 2 e 3. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira.
Esse processo nos leva a expressar e em termos de .
Passo 12
Finalmente, retornando à primeira equação para encontrar x1 + x2 + x3 + x4 = 4 :
x1 = 4 - x2 - x3 - x4
Substituindo e :
Como e já estão expressos em termos de , podemos escrever também em termos de .
Passo 13
Resumindo, todas as incógnitas são expressas em termos de , que pode ser considerado um parâmetro livre. Isso significa que o sistema possui infinitas soluções, dependendo do valor escolhido para .
Resposta
O conjunto solução do sistema x1 = 4 - x2 - x3 - x4 x2 = expressão em termos de x4 x3 = a^2 - 5a + 112a - 10 + a^2 - 6a + 52a - 10x4 x4 é um parâmetro livre para todos os valores de é dado por vetores onde:
ãéâ
Assim, o conjunto solução é infinito, dependendo do valor escolhido para .