Utilizando a definição, em cada caso verifique diretamente se o vetor
é autovetor da matriz
, isto é, verifique se
para algum (autovalor)
.
(a)
e
(a)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor
e uma matriz
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre autovetores e autovalores. Nosso objetivo é verificar se, ao multiplicar a matriz
pelo vetor
, o resultado é um múltiplo do próprio vetor
. Ou seja, queremos saber se existe um número
tal que
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto da matriz
pelo vetor
. Para multiplicar uma matriz por um vetor, multiplicamos cada linha da matriz pelas componentes do vetor e somamos os resultados.
Calculando cada componente:
- Primeira linha:
- Segunda linha:
Então,
Passo 3
Agora, vamos comparar o resultado de
com
. Queremos encontrar um
tal que:
Substituindo os valores:
Isso nos dá duas equações:
Passo 4
Resolvendo a primeira equação:
E a segunda equação:
Ambas as equações confirmam que
.
Resposta
O vetor
é um autovetor da matriz
com autovalor
.