Utilizando a definição, em cada caso verifique diretamente se o vetor v é autovetor da matriz A, isto é, verifique se A v=lambda v para algum (autovalor) lambda.
(a) v=(-2,1) e A=[ll2 & 2 1 & 3]

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor v = (-2, 1) e uma matriz A = 2 & 2 1 & 3. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre autovetores e autovalores. Nosso objetivo é verificar se, ao multiplicar a matriz A pelo vetor v, o resultado é um múltiplo do próprio vetor v. Ou seja, queremos saber se existe um número lambda tal que A v = lambda v.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto da matriz A pelo vetor v. Para multiplicar uma matriz por um vetor, multiplicamos cada linha da matriz pelas componentes do vetor e somamos os resultados.
A v = 2 & 2 1 & 3 -2 1
Calculando cada componente:
  • Primeira linha: (2 times -2) + (2 times 1) = -4 + 2 = -2
  • Segunda linha: (1 times -2) + (3 times 1) = -2 + 3 = 1
Então,
A v = -2 1

Passo 3

Agora, vamos comparar o resultado de A v com lambda v. Queremos encontrar um lambda tal que:
A v = lambda v
Substituindo os valores:
-2 1 = lambda -2 1
Isso nos dá duas equações:
  1. -2 = lambda times (-2)
  2. 1 = lambda times 1

Passo 4

Resolvendo a primeira equação:
-2 = -2 lambda implies lambda = 1
E a segunda equação:
1 = 1 times lambda implies lambda = 1
Ambas as equações confirmam que lambda = 1.

Resposta

O vetor v é um autovetor da matriz A com autovalor lambda = 1.

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