Utilizando a definição, em cada caso verifique diretamente se o vetor é autovetor da matriz , isto é, verifique se para algum (autovalor) .
(a) e

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor e uma matriz . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre autovetores e autovalores. Nosso objetivo é verificar se, ao multiplicar a matriz pelo vetor , o resultado é um múltiplo do próprio vetor . Ou seja, queremos saber se existe um número tal que .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto da matriz pelo vetor . Para multiplicar uma matriz por um vetor, multiplicamos cada linha da matriz pelas componentes do vetor e somamos os resultados.
Calculando cada componente:
  • Primeira linha:
  • Segunda linha:
Então,

Passo 3

Agora, vamos comparar o resultado de com . Queremos encontrar um tal que:
Substituindo os valores:
Isso nos dá duas equações:

Passo 4

Resolvendo a primeira equação:
E a segunda equação:
Ambas as equações confirmam que .

Resposta

O vetor é um autovetor da matriz com autovalor .

Exercícios relacionados

Considere a matriz . Determine o conjunto solução do sistema , em que , para todos os valores de .
Considere o sistema
Quais os postos das matrizes associadas? Existe grau de liberdade? Se possível, apresente a solução.
Utilizando a definição, em cada caso verifique diretamente se o vetor é autovetor da matriz , isto é, verifique se para algum (autovalor) .
(b) e
Seja uma transformação linear. Se é sobrejetora e , qual o valor de ?