Considere o sistema
r x+2 y+z+t=1 x+3 y-z+2 t=3
Quais os postos das matrizes associadas? Existe grau de liberdade? Se possível, apresente a solução.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse sistema de equações que você enviou. A gente vai trabalhar com matrizes e determinar os postos delas. Além disso, vamos ver se existe algum grau de liberdade na solução e, se der, apresentar a solução completa. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, escalonamento e análise de rank.

Passo 2

Primeiro, vamos montar as matrizes associadas ao sistema. A matriz dos coeficientes é aquela que contém só os números que estão na frente das variáveis nas equações. Já a matriz ampliada inclui também os termos constantes das equações.
Matriz dos coeficientes:
A = 1 & 2 & 1 & 1 1 & 3 & -1 & 2
Matriz ampliada:
tildeA = 1 & 2 & 1 & 1 & | & 1 1 & 3 & -1 & 2 & | & 3

Passo 3

Agora, vamos determinar o posto dessas matrizes. O posto de uma matriz é o número máximo de linhas ou colunas linearmente independentes. Para achar isso, vamos escalonar as matrizes para trazer elas para a forma escalonada reduzida.
Vamos começar com a matriz dos coeficientes A = 1 & 2 & 1 & 1 1 & 3 & -1 & 2 :
1 & 2 & 1 & 1 0 & 1 & -2 & 1
Subtraindo a primeira linha da segunda para eliminar o primeiro elemento da segunda linha:
Como temos duas linhas não nulas, o posto da matriz é 2.

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para a matriz ampliada tildeA = 1 & 2 & 1 & 1 & | & 1 1 & 3 & -1 & 2 & | & 3 :
1 & 2 & 1 & 1 & | & 1 0 & 1 & -2 & 1 & | & 2
Subtraindo a primeira linha da segunda:
Aqui também temos duas linhas não nulas, então o posto da matriz ampliada também é 2.

Passo 5

Agora, vamos verificar se existe grau de liberdade. Isso depende da diferença entre o número de variáveis e o posto da matriz dos coeficientes. Aqui, temos 4 variáveis ( ) e o posto é 2.
Grau de liberdade = número de variáveis - posto = 4 - 2 = 2
Então, sim, existem dois graus de liberdade na solução.

Passo 6

Vamos encontrar a solução geral do sistema. Como temos dois graus de liberdade, podemos expressar duas variáveis em termos das outras duas. Vamos resolver o sistema escalonado:
Das equações escalonadas:
x + 2y + z + t = 1 0x + y - 2z + t = 2
Vamos resolver a segunda equação para y = 2 + 2z - t :
x + 2(2 + 2z - t) + z + t = 1 x + 4 + 4z - 2t + z + t = 1 x + 5z - t = -3 x = -3 -5z + t
Agora, substituímos na primeira equação:

Resposta

O posto da matriz dos coeficientes é 2 e o posto da matriz ampliada também é 2. Como há dois graus de liberdade, a solução geral do sistema é:
x = -3 -5z + t y = 2 + 2z - t z e t são livres ã
Onde e podem assumir quaisquer valores reais.

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