Mostre que |ccca & b & c d & e & f d & b+e & c+f|=-a|ccb & c e & f|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma questão de determinantes, que é um conceito da Álgebra linear. O enunciado pede para mostrar que o determinante de uma matriz 3x3 específica é igual a vezes o determinante de uma matriz 2x2. Pra resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades de determinantes, especialmente a expansão por cofatores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz 3x3 que queremos calcular o determinante:
a & b & c d & e & f d & b + e & c + f

Passo 3

Vamos calcular o determinante dessa matriz 3x3 usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Eu vou optar pela expansão pela primeira linha para facilitar a conta.

Passo 4

A regra de expansão por cofatores na primeira linha diz que:
Determinante = a cdot Cofator11 - b cdot Cofator12 + c cdot Cofator13
Onde cada cofactor é o determinante da matriz 2x2 que sobra quando removemos a linha e a coluna do elemento considerado.

Passo 5

Vamos calcular cada cofactor:
  • Cofator e & f b + e & c + f : Removendo a primeira linha e a primeira coluna, temos:
d & f d & c + f
O determinante desse 2x2 é d & e d & b + e .
  • Cofator : Removendo a primeira linha e a segunda coluna, temos:
O determinante desse 2x2 é .
  • Cofator : Removendo a primeira linha e a terceira coluna, temos:
O determinante desse 2x2 é .

Passo 6

Substituindo os cofatores na fórmula da expansão:
Determinante = a cdot [e(c + f) - f(b + e)] - b cdot (d c) + c cdot (d b)
Vamos simplificar isso:
= a[e c + e f - f b - f e] - b d c + c d b
Perceba que = a(e c - f b) - b d c + c d b e = a(e c - f b) se cancelam:
Note que , então sobra:

Passo 7

Agora, vamos lembrar que o determinante da matriz 2x2:
b & c e & f
é dado por:
b f - c e
Então,
a(e c - f b) = -a(b f - c e) = -a cdot b & c e & f

Resposta

Portanto,
|ccc a & b & c d & e & f d & b + e & c + f | = -a|cc b & c e & f |

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