Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma questão de determinantes, que é um conceito da Álgebra linear. O enunciado pede para mostrar que o determinante de uma matriz 3x3 específica é igual a vezes o determinante de uma matriz 2x2. Pra resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades de determinantes, especialmente a expansão por cofatores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz 3x3 que queremos calcular o determinante:

Passo 3

Vamos calcular o determinante dessa matriz 3x3 usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Eu vou optar pela expansão pela primeira linha para facilitar a conta.

Passo 4

A regra de expansão por cofatores na primeira linha diz que:
Onde cada cofactor é o determinante da matriz 2x2 que sobra quando removemos a linha e a coluna do elemento considerado.

Passo 5

Vamos calcular cada cofactor:
  • Cofator : Removendo a primeira linha e a primeira coluna, temos:
O determinante desse 2x2 é .
  • Cofator : Removendo a primeira linha e a segunda coluna, temos:
O determinante desse 2x2 é .
  • Cofator : Removendo a primeira linha e a terceira coluna, temos:
O determinante desse 2x2 é .

Passo 6

Substituindo os cofatores na fórmula da expansão:
Vamos simplificar isso:
Perceba que e se cancelam:
Note que , então sobra:

Passo 7

Agora, vamos lembrar que o determinante da matriz 2x2:
é dado por:
Então,

Resposta

Portanto,

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Considere a matriz
A matriz é chamada matriz de Hilbert de quinta ordem.
(b) Resolva a equação para um conveniente de modo a determinar a última coluna da inversa da matriz .
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(b)
Ache equações paramétricas da reta que passa por e é perpendicular ao plano nos casos: