Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma questão de determinantes, que é um conceito da Álgebra linear. O enunciado pede para mostrar que o determinante de uma matriz 3x3 específica é igual a vezes o determinante de uma matriz 2x2. Pra resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades de determinantes, especialmente a expansão por cofatores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz 3x3 que queremos calcular o determinante:
Passo 3
Vamos calcular o determinante dessa matriz 3x3 usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Eu vou optar pela expansão pela primeira linha para facilitar a conta.
Passo 4
A regra de expansão por cofatores na primeira linha diz que:
Onde cada cofactor é o determinante da matriz 2x2 que sobra quando removemos a linha e a coluna do elemento considerado.
Passo 5
Vamos calcular cada cofactor:
Cofator: Removendo a primeira linha e a primeira coluna, temos:
O determinante desse 2x2 é .
Cofator: Removendo a primeira linha e a segunda coluna, temos:
O determinante desse 2x2 é .
Cofator: Removendo a primeira linha e a terceira coluna, temos:
O determinante desse 2x2 é .
Passo 6
Substituindo os cofatores na fórmula da expansão:
Vamos simplificar isso:
Perceba que e se cancelam:
Note que , então sobra:
Passo 7
Agora, vamos lembrar que o determinante da matriz 2x2: