Nos exercícios seguintes determine os valores dos parâmetros envolvidos de forma que as matrizes sejam inversíveis.
(b) (rrc1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & a^2-1)

Passo 1

Vamos lá! Temos uma matriz de ordem e queremos descobrir para quais valores de ela é inversível. Para isso, vamos usar o conceito de determinante: uma matriz só é inversível se o seu determinante for diferente de zero. Então, nosso objetivo é calcular o determinante dessa matriz e encontrar os valores de que fazem esse determinante não ser zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz. Para uma matriz det(A) = 1 cdot -1 & 5 1 & a^2 -1 - 2 cdot 3 & 5 4 & a^2 -1 + (-3) cdot 3 & -1 4 & 1 , podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Aqui, vamos optar pela expansão pela primeira linha para facilitar:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada um desses menores:
  1. Primeiro menor:
-1 & 5 1 & a^2 -1 = (-1)(a^2 -1) - (5)(1) = -a^2 +1 -5 = -a^2 -4
  1. Segundo menor:
3 & 5 4 & a^2 -1 = 3(a^2 -1) - 5(4) = 3a^2 -3 -20 = 3a^2 -23
  1. Terceiro menor:
3 & -1 4 & 1 = 3(1) - (-1)(4) = 3 +4 =7

Passo 4

Substituindo os valores dos menores no determinante:
det(A) = 1 cdot (-a^2 -4) - 2 cdot (3a^2 -23) + (-3) cdot 7
= -a^2 -4 -6a^2 +46 -21
= -7a^2 +21

Passo 5

Para que a matriz seja inversível, o determinante deve ser diferente de zero:
-7a^2 +21 neq 0
-7a^2 +21 neq 0 implies a^2 neq 3 implies a neq raiz3,, a neq -raiz3

Resposta

A matriz é inversível para todo valor de que não seja nem . Ou seja, e .

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