A matriz é chamada matriz de Hilbert de quinta ordem.
(a) Calcule o determinante de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante de uma matriz de Hilbert de quinta ordem. A matriz de Hilbert é famosa na matemática por suas propriedades interessantes, especialmente no estudo de sistemas lineares e interpolação. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e as características específicas das matrizes de Hilbert.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o determinante de uma matriz. O determinante é um número que nos dá várias informações sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para matrizes pequenas, calcular o determinante é direto, mas para matrizes maiores, como a de 5x5 que temos aqui, o processo fica mais complicado.
Passo 3
Agora, sobre a matriz de Hilbert. Ela é uma matriz quadrada onde cada elemento é dado pela fórmula:
No nosso caso, é uma matriz 5x5, então os índices e vão de 1 a 5. Essa estrutura faz com que a matriz de Hilbert tenha propriedades particulares, como ser bem condicionada para pequenos valores de , mas se tornando mal condicionada conforme aumenta.
Passo 4
Calcular o determinante diretamente para uma matriz 5x5 seria um saco, envolvendo muitas operações. Felizmente, para matrizes de Hilbert, existe uma fórmula específica para calcular o determinante de uma matriz . A fórmula é um pouco complicada, mas para o quinto caso, já temos um valor conhecido.
A fórmula geral para o determinante da matriz de Hilbert de ordem é:
onde é um produto envolvendo fatoriais que podemos calcular ou consultar em tabelas matemáticas.
Passo 5
Para :
Calculando os produtos de fatoriais ou consultando a literatura matemática, sabemos que:
Esse valor é bem pequeno, o que é característico das matrizes de Hilbert, já que elas tendem a ter determinantes que diminuem rapidamente conforme o tamanho aumenta.
Resposta
O determinante da matriz de Hilbert de quinta ordem é .