Considere a matriz
A=[ccccc 1 & 1 / 2 & 1 / 3 & 1 / 4 & 1 / 5 1 / 2 & 1 / 3 & 1 / 4 & 1 / 5 & 1 / 6 1 / 3 & 1 / 4 & 1 / 5 & 1 / 6 & 1 / 7 1 / 4 & 1 / 5 & 1 / 6 & 1 / 7 & 1 / 8 1 / 5 & 1 / 6 & 1 / 7 & 1 / 8 & 1 / 9 ]
A matriz A é chamada matriz de Hilbert de quinta ordem.
(a) Calcule o determinante de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante de uma matriz de Hilbert de quinta ordem. A matriz de Hilbert é famosa na matemática por suas propriedades interessantes, especialmente no estudo de sistemas lineares e interpolação. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e as características específicas das matrizes de Hilbert.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o determinante de uma matriz. O determinante é um número que nos dá várias informações sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para matrizes pequenas, calcular o determinante é direto, mas para matrizes maiores, como a de 5x5 que temos aqui, o processo fica mais complicado.

Passo 3

Agora, sobre a matriz de Hilbert. Ela é uma matriz quadrada onde cada elemento Ai,j = 1i + j - 1 é dado pela fórmula:
No nosso caso, é uma matriz 5x5, então os índices e vão de 1 a 5. Essa estrutura faz com que a matriz de Hilbert tenha propriedades particulares, como ser bem condicionada para pequenos valores de , mas se tornando mal condicionada conforme aumenta.

Passo 4

Calcular o determinante diretamente para uma matriz 5x5 seria um saco, envolvendo muitas operações. Felizmente, para matrizes de Hilbert, existe uma fórmula específica para calcular o determinante de uma matriz det(Hn) = cn^4c2n . A fórmula é um pouco complicada, mas para o quinto caso, já temos um valor conhecido.
A fórmula geral para o determinante da matriz de Hilbert de ordem é:
onde é um produto envolvendo fatoriais que podemos calcular ou consultar em tabelas matemáticas.

Passo 5

Para det(H5) = 117297280 :
Calculando os produtos de fatoriais ou consultando a literatura matemática, sabemos que:
Esse valor é bem pequeno, o que é característico das matrizes de Hilbert, já que elas tendem a ter determinantes que diminuem rapidamente conforme o tamanho aumenta.

Resposta

O determinante da matriz de Hilbert de quinta ordem é .

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