Considere a matriz
A matriz é chamada matriz de Hilbert de quinta ordem.
(a) Calcule o determinante de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante de uma matriz de Hilbert de quinta ordem. A matriz de Hilbert é famosa na matemática por suas propriedades interessantes, especialmente no estudo de sistemas lineares e interpolação. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e as características específicas das matrizes de Hilbert.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o determinante de uma matriz. O determinante é um número que nos dá várias informações sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para matrizes pequenas, calcular o determinante é direto, mas para matrizes maiores, como a de 5x5 que temos aqui, o processo fica mais complicado.

Passo 3

Agora, sobre a matriz de Hilbert. Ela é uma matriz quadrada onde cada elemento é dado pela fórmula:
No nosso caso, é uma matriz 5x5, então os índices e vão de 1 a 5. Essa estrutura faz com que a matriz de Hilbert tenha propriedades particulares, como ser bem condicionada para pequenos valores de , mas se tornando mal condicionada conforme aumenta.

Passo 4

Calcular o determinante diretamente para uma matriz 5x5 seria um saco, envolvendo muitas operações. Felizmente, para matrizes de Hilbert, existe uma fórmula específica para calcular o determinante de uma matriz . A fórmula é um pouco complicada, mas para o quinto caso, já temos um valor conhecido.
A fórmula geral para o determinante da matriz de Hilbert de ordem é:
onde é um produto envolvendo fatoriais que podemos calcular ou consultar em tabelas matemáticas.

Passo 5

Para :
Calculando os produtos de fatoriais ou consultando a literatura matemática, sabemos que:
Esse valor é bem pequeno, o que é característico das matrizes de Hilbert, já que elas tendem a ter determinantes que diminuem rapidamente conforme o tamanho aumenta.

Resposta

O determinante da matriz de Hilbert de quinta ordem é .

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(g)
Um fabricante de móveis produz cadeiras e mesas, cada uma das quais deve passar por um processo de montagem e um processo de acabamento. Os tempos necessários para esses processos são dados (em horas) pela tabela 8
Montagem Acabamento
Cadeira 2 2
Mesa 3 4
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Salt Lake City Chicago
Montagem 9 10
Acabamento 10 12
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João pesa 81 quilos. Ele quer perder peso por meio de um programa de dieta e exercícios. Após consultar a Tabela 1, ele monta o programa de exercícios na Tabela 2. Quantas calorias ele vai queimar por dia se seguir esse programa?
Atividade esportiva
Peso Caminhar Correr Andar de bicicleta Jogar tênis
69 213 651 304 420
73 225 688 321 441
77 237 726 338 468
81 249 764 356 492
Tabela 1: Calorias Queimadas por Hora
Programa de exercícios
Caminhar Correr Andar de bicicleta Jogar tênis
Segunda-feira 1,0 0,0 1,0 0,0
Terca-feira 0,0 0,0 0,0 2,0
Quarta-feira 0,4 0,5 0,0 0,0
Quinta-feira 0,0 0,0 0,5 2,0
Sexta-feira 0,4 0,5 0,0 0,0
Tabela 2: Horas por Dia para Cada Atividade
Uma matriz é dita ortogonal se é inversível e .
(a) Determine, se possível, e em de modo que a matriz
seja ortogonal.