Nos ítens seguintes determine quais as matrizes que são inversíveis. Em caso afirmativo determine a inversa.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se uma determinada matriz é inversível e, se for, encontrar a inversa dela. O conteúdo aqui é sobre matrizes inversíveis e métodos para encontrar a inversa. Para resolver isso, vamos precisar entender que uma matriz é inversível se ela tiver um determinante diferente de zero e que, matrizes triangulares (como a que temos aqui) são mais fáceis de trabalhar nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a matriz é inversível. Uma forma rápida de fazer isso, especialmente com matrizes triangulares, é olhar os elementos da diagonal principal. Se todos esses elementos forem diferentes de zero, a matriz é inversível. Na nossa matriz:
Os elementos da diagonal principal são 1, 5, 8 e 10. Todos são diferentes de zero, então essa matriz é inversível.
Passo 3
Agora que sabemos que a matriz é inversível, vamos encontrar a inversa dela. Como a matriz é triangular superior, a inversa também será triangular superior. Para encontrar a inversa, podemos seguir esses passos:
-
Inverter os elementos da diagonal principal: Cada elemento na diagonal da inversa será o inverso multiplicativo do correspondente na matriz original. Então, teremos:
11 & * & * & * 0 & 15 & * & * 0 & 0 & 18 & * 0 & 0 & 0 & 110 -
Calcular os elementos acima da diagonal: Isso envolve resolver sistemas lineares para cada elemento acima da diagonal. Por exemplo, para o elemento (1,2) na inversa, usamos a equação:
1 cdot a12 + 2 cdot 15 = 0 Resolvendo, encontramos .Repetindo esse processo para todos os elementos acima da diagonal, obtemos os valores necessários.
Resposta
A inversa da matriz é: