Uma matriz é dita ortogonal se é inversível e .
(a) Determine, se possível, e em de modo que a matriz
seja ortogonal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar os valores de e na matriz
de modo que essa matriz seja ortogonal. Matriz ortogonal significa que ela é inversível e que sua inversa é igual à sua transposta, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar propriedades de matrizes ortogonais e operações de multiplicação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma matriz ser ortogonal, a multiplicação da matriz pela sua transposta deve resultar na matriz identidade. Ou seja:
onde é a matriz identidade de ordem 2.
Passo 3
Vamos calcular a transposta de :
Passo 4
Agora, multiplicamos por :
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo.
Passo 5
Multiplicando as matrizes:
Simplificando:
Passo 6
Sabemos que para ser ortogonal, essa multiplicação deve ser igual à matriz identidade:
[
]
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 7
Vamos resolver cada equação:
De :
Aqui vemos um problema: não pode ser negativo no conjunto dos números reais.
Paralelamente, de :
Também impossivel para real.
Passo 8
Como chegamos a equações que exigem que e sejam iguais a , que não têm solução no conjunto dos números reais, concluímos que não existem valores reais para e que tornem a matriz ortogonal.
Resposta
Não existem valores reais de e que façam a matriz ser ortogonal.