Uma matriz é dita ortogonal se é inversível e .
(a) Determine, se possível, e em de modo que a matriz
seja ortogonal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar os valores de e na matriz
de modo que essa matriz seja ortogonal. Matriz ortogonal significa que ela é inversível e que sua inversa é igual à sua transposta, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar propriedades de matrizes ortogonais e operações de multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma matriz ser ortogonal, a multiplicação da matriz pela sua transposta deve resultar na matriz identidade. Ou seja:
onde é a matriz identidade de ordem 2.

Passo 3

Vamos calcular a transposta de :

Passo 4

Agora, multiplicamos por :
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo.

Passo 5

Multiplicando as matrizes:
Simplificando:

Passo 6

Sabemos que para ser ortogonal, essa multiplicação deve ser igual à matriz identidade:
[


]
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 7

Vamos resolver cada equação:
  1. De :
Aqui vemos um problema: não pode ser negativo no conjunto dos números reais.
  1. Paralelamente, de :
Também impossivel para real.

Passo 8

Como chegamos a equações que exigem que e sejam iguais a , que não têm solução no conjunto dos números reais, concluímos que não existem valores reais para e que tornem a matriz ortogonal.

Resposta

Não existem valores reais de e que façam a matriz ser ortogonal.

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Atividade esportiva
Peso Caminhar Correr Andar de bicicleta Jogar tênis
69 213 651 304 420
73 225 688 321 441
77 237 726 338 468
81 249 764 356 492
Tabela 1: Calorias Queimadas por Hora
Programa de exercícios
Caminhar Correr Andar de bicicleta Jogar tênis
Segunda-feira 1,0 0,0 1,0 0,0
Terca-feira 0,0 0,0 0,0 2,0
Quarta-feira 0,4 0,5 0,0 0,0
Quinta-feira 0,0 0,0 0,5 2,0
Sexta-feira 0,4 0,5 0,0 0,0
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Considere a matriz
A matriz é chamada matriz de Hilbert de quinta ordem.
(a) Calcule o determinante de .
Calcule os valores de para que as matrizes e sejam iguais:
Sejam subespaços vetoriais de . Determine uma base e a dimensão dos subespaços e .
e .