Uma matriz A in Mn(R) é dita ortogonal se A é inversível e A^-1=A^t.
(a) Determine, se possível, x e y em R de modo que a matriz
A=(ll raiz2 & x y & raiz2 )
seja ortogonal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar os valores de A = raiz2 & x y & raiz2 e na matriz
de modo que essa matriz seja ortogonal. Matriz ortogonal significa que ela é inversível e que sua inversa é igual à sua transposta, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar propriedades de matrizes ortogonais e operações de multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma matriz ser ortogonal, a multiplicação da matriz pela sua transposta deve resultar na matriz identidade. Ou seja:
A cdot A^t = I
onde é a matriz identidade de ordem 2.

Passo 3

Vamos calcular a transposta de A^t = raiz2 & y x & raiz2 :

Passo 4

Agora, multiplicamos A cdot A^t = raiz2 & x y & raiz2 cdot raiz2 & y x & raiz2 por :
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo.

Passo 5

Multiplicando as matrizes:
A cdot A^t = raiz2 cdot raiz2 + x cdot x & raiz2 cdot y + x cdot raiz2 y cdot raiz2 + raiz2 cdot x & y cdot y + raiz2 cdot raiz2
Simplificando:
A cdot A^t = 2 + x^2 & raiz2y + raiz2x raiz2y + raiz2x & y^2 + 2

Passo 6

Sabemos que para 2 + x^2 & raiz2y + raiz2x raiz2y + raiz2x & y^2 + 2 = 1 & 0 0 & 1 ser ortogonal, essa multiplicação deve ser igual à matriz identidade:
[
2 + x^2 = 1 raiz2y + raiz2x = 0 y^2 + 2 = 1


]
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 7

Vamos resolver cada equação:
  1. De x^2 = 1 - 2 implies x^2 = -1 :
y^2 = 1 - 2 implies y^2 = -1
Aqui vemos um problema: não pode ser negativo no conjunto dos números reais.
  1. Paralelamente, de :
Também impossivel para real.

Passo 8

Como chegamos a equações que exigem que e sejam iguais a , que não têm solução no conjunto dos números reais, concluímos que não existem valores reais para e que tornem a matriz ortogonal.

Resposta

Não existem valores reais de e que façam a matriz ser ortogonal.

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