Considere a matriz e . Verifique se e são equivalentes por linha. Os sistemas lineares cujas matrizes aumentadas são e são equivalentes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se as matrizes e são equivalentes por linha. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre equivalência de matrizes e sistemas lineares. Para resolver isso, precisamos usar operações elementares de linha para tentar transformar uma matriz na outra. Se der certo, elas são equivalentes por linha e os sistemas lineares correspondentes também são equivalentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa duas matrizes serem equivalentes por linha. Basicamente, isso quer dizer que você pode transformar uma matriz na outra usando uma série de operações elementares de linha, como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero, ou adicionar a uma linha uma múltiplo de outra linha.

Passo 3

Vamos começar aplicando essas operações na matriz para ver se conseguimos chegar na matriz . Nossa matriz é:
E a matriz é:

Passo 4

Primeiro, vamos tentar tornar o primeiro elemento da primeira linha de igual ao de . Na matriz , o primeiro elemento é 2, então podemos multiplicar a primeira linha de por 2:
Agora, a primeira linha temporária da matriz fica:

Passo 5

Comparando com a primeira linha de que é , vemos que ainda não são iguais. Vamos ajustar a segunda coluna. Podemos fazer isso subtraindo a primeira linha atualizada da segunda linha de :
á
Agora, a matriz fica:

Passo 6

Vamos continuar tentando igualar as linhas. Agora, vamos multiplicar a segunda linha por -1 para simplificar:
A matriz fica:

Passo 7

Agora, observamos que a segunda linha de é exatamente . Vamos tentar ajustar a quarta coluna. Podemos subtrair a segunda linha da primeira linha atual:
Então, a matriz fica:

Passo 8

Percebo que estamos voltando para a matriz . Isso indica que talvez precisaríamos de uma abordagem diferente, ou que e não são equivalentes por linha. Vamos verificar o posto das matrizes para confirmar.

Passo 9

O posto de uma matriz é o número máximo de linhas linearmente independentes. Se e têm o mesmo posto, elas podem ser equivalentes por linha. Calculando o posto de e :
Para , após realizar operações, vemos que temos 3 linhas independentes.
Para , após algumas tentativas, também parece ter 3 linhas independentes.

Passo 10

Apesar de possuírem o mesmo posto, ao tentar transformar uma na outra, não conseguimos chegar totalmente. Isso sugere que e não são equivalentes por linha.

Resposta

As matrizes e não são equivalentes por linha, e os sistemas lineares correspondentes também não são equivalentes.

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