Considere o sistema abaixo
& x+y+k z=1 & x+y+2 z=2 & k x+y+z=2-k
Encontre todos os valores de k para os quais o sistema tem a) uma única solução, b) infinitas soluções e c) não tem solução. Depois disso, determine as posições pivô da matriz aumentada do sistema em função de k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício apresenta um sistema de equações lineares com a variável . O objetivo é encontrar todos os valores de para os quais o sistema tem:
a) uma única solução,
b) infinitas soluções, e
c) nenhuma solução.
Depois disso, precisamos determinar as posições dos pivôs na matriz aumentada do sistema em função de .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente o método de elimininação de Gauss para triangularizar a matriz e analisar os determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
1 & 1 & k & | & 1 1 & 1 & 2 & | & 2 k & 1 & 1 & | & 2 - k

Passo 3

Agora, vamos realizar a eliminação para triangularizar a matriz. Subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira para eliminar o primeiro elemento da segunda e terceira linhas:
Linha2 = Linha2 - Linha1:
1 & 1 & k & | & 1 0 & 0 & 2 - k & | & 1 k & 1 & 1 & | & 2 - k
Linha3 = Linha3 - 1 & 1 & k & | & 1 0 & 0 & 2 - k & | & 1 0 & 1 - k & 1 - k^2 & | & 2 - k - k * Linha1:
1 & 1 & k & | & 1 0 & 0 & 2 - k & | & 1 0 & 1 - k & 1 - k^2 & | & 2 - 2k
Simplificando a terceira linha:

Passo 4

Agora, analisamos os possíveis casos com base no valor de 0 1 - 2 = -1 | 2 - 4 = -2 :
Caso 1: 0 0 0 | 1 (ou seja, )
  • Nesse caso, podemos resolver as equações normalmente e obter uma única solução.
Caso 2: (ou seja, )
  • Precisamos verificar se o sistema é consistente ou não.
Vamos ver o caso :
Substituindo na terceira linha:
E na segunda linha:
Aqui, temos uma equação inconsistente , o que significa que não há solução.

Passo 5

Agora, vamos resumir os resultados:
a) Uma única solução quando .
b) Nenhuma solução quando .
c) Infinitas soluções nunca acontecem nesse sistema para nenhum valor de .

Passo 6

Por fim, vamos determinar as posições dos pivôs na matriz aumentada em função de .
  • Para : Os pivôs estão nas colunas 1, 2 e 3.
  • Para : A matriz reduzida mostra que há um pivô nas colunas 1 e 2, mas a terceira coluna não possui pivô devido à inconsistência.

Resposta

a) O sistema tem uma única solução para todo .
b) O sistema não tem solução quando .
c) Não há valores de que resultem em infinitas soluções.
As posições dos pivôs na matriz aumentada são:
  • Para : pivôs nas colunas 1, 2 e 3.
  • Para : pivôs nas colunas 1 e 2.

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