Beleza, vamos começar entendendo o que está pedindo o exercício. Temos um sistema de equações lineares com quatro equações e três incógnitas (x, y, z). O objetivo é descobrir para quais valores de a in R esse sistema tem:
Para resolver isso, vamos usar o método de escalonamento de matrizes e analisar o determinante da matriz dos coeficientes. Precisamos entender conceitos básicos de álgebra linear, como sistemas lineares, matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. A matriz aumentada inclui os coeficientes das incógnitas e os termos constantes das equações:
Como temos mais equações do que incógnitas, devemos verificar se essas equações são linearmente independentes. Vamos calcular o determinante de uma submatriz 3 times 3. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma solução única. Caso contrário, pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução.
Passo 5
Calculando o determinante da matriz A:
det(A) = 1 & 1 & 3 1 & 2a+1 & 4 2 & 2a+2 & 8
Para calcular o determinante de uma matriz 3 times 3, usamos a regra de Sarrus:
Vamos resolver as Equações 5 e 7 para eliminar uma das variáveis. Por exemplo, podemos multiplicar a Equação 5 por 3 e a Equação 7 por 4 para igualar os coeficientes de y:
Portanto, quando a = -25, o sistema tem uma solução única:
x = -5.05, y = -2043, z = 11343
Passo 15
Isso significa que mesmo para a = -25, o sistema possui uma solução única. Não há valores de a que levem a infinitas soluções ou nenhuma solução, pois o determinante nunca é zero exceto para a = -25, mas nesse caso, o sistema ainda tem solução única.
Resposta
(a) O sistema possui solução única para todo a in R.
(b) Não há valores de a para os quais o sistema tenha infinitas soluções.