Determine para quais valores de a in R o sistema
l x+y+3 z=4 x+(2 a+1) y+4 z=7 2 x+(2 a+2) y+8 z=12 x+a y+(3+a) z=a+4
possui:
(a) solução única;
(b) infinitas soluções;
© nenhuma solução.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que está pedindo o exercício. Temos um sistema de equações lineares com quatro equações e três incógnitas ( x, y, z). O objetivo é descobrir para quais valores de a in R esse sistema tem:
(a) uma solução única;
(b) infinitas soluções;
© nenhuma solução.
Para resolver isso, vamos usar o método de escalonamento de matrizes e analisar o determinante da matriz dos coeficientes. Precisamos entender conceitos básicos de álgebra linear, como sistemas lineares, matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. A matriz aumentada inclui os coeficientes das incógnitas e os termos constantes das equações:
1 & 1 & 3 & | & 4 1 & 2a+1 & 4 & | & 7 2 & 2a+2 & 8 & | & 12 1 & a & 3+a & | & a+4

Passo 3

Agora, vamos focar na parte dos coeficientes, ignorando temporariamente os termos constantes. Essa é a matriz dos coeficientes:
A = 1 & 1 & 3 1 & 2a+1 & 4 2 & 2a+2 & 8 1 & a & 3+a

Passo 4

Como temos mais equações do que incógnitas, devemos verificar se essas equações são linearmente independentes. Vamos calcular o determinante de uma submatriz 3 times 3. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma solução única. Caso contrário, pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 5

Calculando o determinante da matriz A:
det(A) = 1 & 1 & 3 1 & 2a+1 & 4 2 & 2a+2 & 8
Para calcular o determinante de uma matriz 3 times 3, usamos a regra de Sarrus:
det(A) = 1 cdot (2a+1) cdot 8 + 1 cdot 4 cdot 2 + 3 cdot 1 cdot (2a+2) - 3 cdot (2a+1) cdot 2 - 1 cdot 4 cdot 1 - 1 cdot 1 cdot 8
Simplificando:
det(A) = 8(2a+1) + 8 + 3(2a+2) - 6(2a+1) - 4 - 8
det(A) = 16a + 8 + 8 + 6a + 6 - 12a - 6 - 4 - 8
det(A) = (16a + 6a - 12a) + (8 + 8 + 6 - 6 - 4 - 8)
det(A) = 10a + 4

Passo 6

Agora, analisamos o determinante:
det(A) = 10a + 4
Para que o sistema tenha uma solução única, o determinante deve ser diferente de zero:
10a + 4 neq 0 10a neq -4 a neq -410 a neq -25

Passo 7

Portanto:
(a) Solução única ocorre quando a neq -25.
Agora, precisamos verificar o caso quando a = -25 para determinar se há infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 8

Substituindo a = -25 no sistema original:
l x + y + 3z = 4 x + (2(-25)+1)y + 4z = 7 2x + (2(-25)+2)y + 8z = 12 x + (-25)y + (3 - 25)z = -25 + 4
Simplificando cada equação:
Para a segunda equação:
2(-25) + 1 = -45 + 1 = 15
Para a terceira equação:
2(-25) + 2 = -45 + 2 = 65
Para a quarta equação:
3 - 25 = 155 - 25 = 135 -25 + 4 = -25 + 205 = 185
Então o sistema fica:
l x + y + 3z = 4 x + 15y + 4z = 7 2x + 65y + 8z = 12 x - 25y + 135z = 185

Passo 9

Vamos multiplicar todas as equações por 5 para eliminar os denominadores:
l 5x + 5y + 15z = 20 5x + y + 20z = 35 10x + 6y + 40z = 60 5x - 2y + 13z = 18

Passo 10

Agora, vamos tentar simplificar o sistema. Podemos subtrair a segunda equação da primeira:
(5x + 5y + 15z) - (5x + y + 20z) = 20 - 35 4y - 5z = -15 (Equação 5) çã
Também subtraímos a segunda equação da terceira e da quarta:
Para a terceira equação menos a segunda:
(10x + 6y + 40z) - (5x + y + 20z) = 60 - 35 5x + 5y + 20z = 25 (Equação 6) çã
Para a quarta equação menos a segunda:
(5x - 2y + 13z) - (5x + y + 20z) = 18 - 35 -3y - 7z = -17 (Equação 7) çã

Passo 11

Agora temos um sistema menor:
l 4y - 5z = -15 (Equação 5) 5x + 5y + 20z = 25 (Equação 6) -3y - 7z = -17 (Equação 7) çãçãçã
Vamos resolver as Equações 5 e 7 para eliminar uma das variáveis. Por exemplo, podemos multiplicar a Equação 5 por 3 e a Equação 7 por 4 para igualar os coeficientes de y:
12y - 15z = -45 (Equação 5 muçãçã
Somando as duas equações:
(12y - 15z) + (-12y - 28z) = -45 - 68 -43z = -113 z = 11343

Passo 12

Agora que temos z, vamos encontrar y usando a Equação 5:
4y - 5z = -15 4y - 5(11343) = -15 4y = -15 + 56543 4y = -645 + 56543 4y = -8043 y = -2043

Passo 13

Agora que temos y e z, podemos encontrar x usando a Equação 6:
5x + 5y + 20z = 25 5x + 5(-2043) + 20(11343) = 25 5x - 10043 + 226043 = 25 5x + 216043 = 25 5x = 25 - 216043 5x = 1075 - 216043 5x = -108543 x = -1085215 x = -5.05

Passo 14

Portanto, quando a = -25, o sistema tem uma solução única:
x = -5.05, y = -2043, z = 11343

Passo 15

Isso significa que mesmo para a = -25, o sistema possui uma solução única. Não há valores de a que levem a infinitas soluções ou nenhuma solução, pois o determinante nunca é zero exceto para a = -25, mas nesse caso, o sistema ainda tem solução única.

Resposta

(a) O sistema possui solução única para todo a in R.
(b) Não há valores de a para os quais o sistema tenha infinitas soluções.
© Não há valores de a para os quais o sistema não tenha solução.

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