Considere o sistema abaixo
& x+k y+k z=-k & k x+y+z=k & k x+y+k z=k
Encontre todos os valores de k para os quais o sistema tem a) uma única solução, b) infinitas soluções e c) não tem solução. Depois disso, determine as posições pivô da matriz aumentada do sistema em função de k.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas:
& x + k y + k z = -k & k x + y + z = k & k x + y + k z = k
O que precisamos descobrir é para quais valores de o sistema tem:
a) uma única solução,
b) infinitas soluções,
c) nenhuma solução.
Depois disso, vamos determinar as posições pivô da matriz aumentada do sistema em função de .
Para resolver isso, vamos usar o método da regra de Cramer e analisar o determinante da matriz dos coeficientes, além de montar a matriz aumentada para identificar as posições pivô. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema linear e a matriz aumentada. A matriz dos coeficientes A = 1 & k & k k & 1 & 1 k & 1 & k é formada pelos coeficientes de [A|b] = 1 & k & k & | & -k k & 1 & 1 & | & k k & 1 & k & | & k , e nas três equações:
A matriz aumentada inclui os termos constantes do sistema:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes det(A) = 1 cdot 1 & 1 1 & k - k cdot k & 1 k & k + k cdot k & 1 k & 1 . O determinante nos ajuda a saber se o sistema tem uma única solução ou não. Se 1 & 1 1 & k , o sistema tem uma única solução. Se k & 1 k & k , precisamos analisar mais a fundo.
Calculando o determinante de k & 1 k & 1 :
det(A) = 1 cdot (k - 1) - k cdot (k^2 - k) + k cdot 0 = k - 1 - k^3 + k^2
Vamos calcular cada um desses menores determinantes:
  1. det(A) = -k^3 + k^2 + k - 1
Substituindo de volta no determinante:
Simplificando:

Passo 4

Vamos analisar quando -k^3 + k^2 + k - 1 neq 0 e -k^3 + k^2 + k - 1 = -(k^3 - k^2 - k + 1) .
a) Uma única solução:
O sistema terá uma única solução quando 1 - 1 - 1 + 1 = 0 . Então, resolvemos a equação:
k^3 - k^2 - k + 1 = (k^3 - k^2) - (k - 1) = k^2(k - 1) -1(k - 1) = (k^2 - 1)(k - 1) = (k - 1)(k + 1)(k - 1) = (k - 1)^2(k + 1)
Vamos fatorar essa expressão:
det(A) = -(k - 1)^2(k + 1)
Vamos fatorar o polinômio . Testando :
Então, é um fator. Fazendo a divisão polinomial ou usando agrupamento:
Portanto:
Então, quando , ou seja, quando e .
b) Infinitas soluções e c) Nenhuma solução:
Isso ocorre quando , ou seja, quando ou . Precisamos verificar cada caso separadamente.

Passo 5

Vamos analisar os casos onde & x + 1 cdot y + 1 cdot z = -1 & 1 cdot x + y + z = 1 & 1 cdot x + y + 1 cdot z = 1 :
Caso 1: & x + y + z = -1 (1) & x + y + z = 1 (2) & x + y + z = 1 (3)
Substituindo & x - y - z = 1 (1) & -x + y + z = -1 (2) & -x + y - z = -1 (3) no sistema:
(x - y - z) + (-x + y + z) = 1 + (-1) 0 = 0
Simplificando:
(-x + y + z) - (-x + y - z) = -1 - (-1) (-x + y + z) + x - y + z = -1 + 1 2z = 0 z = 0
Observamos que a equação (1) é x - y = 1 (1) , enquanto as equações (2) e (3) são -x + y = -1 (3) . Isso gera uma contradição, pois (x - y) + (-x + y) = 1 + (-1) 0 = 0 . Portanto, quando x = y + 1 , o sistema não tem solução.
Conclusão para : O sistema não tem solução.
Caso 2:
Substituindo no sistema:
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as equações (1) e (2):
Isso nos dá uma equação verdadeira, mas não traz informação nova. Vamos subtrair a equação (3) da equação (2):
Agora, substituímos na equação (1):
E na equação (3):
Somando as equações (1) e (3):
Isso indica que temos infinitas soluções, com uma variável livre. Podemos expressar em termos de :
De :
E .
Portanto, para , o sistema tem infinitas soluções.

Passo 6

Resumo dos resultados:
a) Uma única solução: Para todos os valores de exceto e .
b) Infinitas soluções: Quando .
c) Nenhuma solução: Quando .

Passo 7

Agora, vamos determinar as posições pivô da matriz aumentada [A|b] = 1 & k & k & | & -k k & 1 & 1 & | & k k & 1 & k & | & k em função de 1 & k & k & | & -k k & 1 & 1 & | & k k & 1 & k & | & k . As posições pivô são os primeiros elementos não nulos de cada linha em sua forma escalonada.
A matriz aumentada é:
k - k cdot 1 = 0 1 - k cdot k = 1 - k^2 1 - k cdot k = 1 - k^2 k - k cdot (-k) = k + k^2
Vamos aplicar o método de eliminação de Gauss para trazer a matriz à forma escalonada.
Passo 1: Manter a primeira linha como está:
0 & 1 - k^2 & 1 - k^2 & | & k + k^2
Passo 2: Eliminar o k - k cdot 1 = 0 1 - k cdot k = 1 - k^2 k - k cdot k = k - k^2 k - k cdot (-k) = k + k^2 das linhas 2 e 3 usando a linha 1.
Linha 2: 0 & 1 - k^2 & k - k^2 & | & k + k^2 :
1 & k & k & | & -k 0 & 1 - k^2 & 1 - k^2 & | & k + k^2 0 & 1 - k^2 & k - k^2 & | & k + k^2
Então, a linha 2 fica:
0 & 1 & 1 & | & -k + k^2k^2 - 1
Linha 3: 0 & 1 & k - k^21 - k^2 & | & -k + k^2k^2 - 1 :
0 & 1 & k1 + k & | & -k(1 + k)(k^2 - 1) = k1 + k
Então, a linha 3 fica:
0 & 0 & k1 + k - 1 & | & k1 + k - (-k + k^2k^2 - 1)
Agora, a matriz fica:
k1 + k - 1 = k - (1 + k)1 + k = -11 + k
Passo 3: Simplificar as linhas 2 e 3.
Observamos que k1 + k - (-k + k^2k^2 - 1) = k1 + k + k(k + 1)(k -1)(k +1) = k1 + k + kk -1 . Se 0 & 0 & -11 + k & | & *** , podemos simplificar dividindo as linhas pelo fator 1 & k & k & | & -k 0 & 1 & 1 & | & -k1 + k 0 & 0 & -11 + k & | & *** .
Então, a linha 2 torna-se:
E a linha 3:
Simplificando
Então, a linha 3 fica:
Agora, subtraímos a linha 2 da linha 3 para eliminar o :
Linha 3’: :
Simplificando:
E do lado direito:
Mas se e , podemos simplificar:
Portanto, a linha 3’ se torna:
Assim, a matriz escalonada é:
As posições pivô são:
  • Primeira linha: coluna (posição 1)
  • Segunda linha: coluna (posição 2)
  • Terceira linha: coluna (posição 3)
Conclusão: As posições pivô da matriz aumentada são nas colunas de , e , ou seja, posições 1, 2 e 3, para e .

Resposta

a) O sistema tem uma única solução para todos os valores de exceto e .
b) O sistema tem infinitas soluções quando .
c) O sistema não tem solução quando .
As posições pivô da matriz aumentada são nas colunas de , e (posições 1, 2 e 3) para e .

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