Encontre todos os valores de para os quais o sistema tem a) uma única solução, b) infinitas soluções e c) não tem solução. Depois disso, determine as posições pivô da matriz aumentada do sistema em função de .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas:
O que precisamos descobrir é para quais valores de o sistema tem:
a) uma única solução,
b) infinitas soluções,
c) nenhuma solução.
Depois disso, vamos determinar as posições pivô da matriz aumentada do sistema em função de .
Para resolver isso, vamos usar o método da regra de Cramer e analisar o determinante da matriz dos coeficientes, além de montar a matriz aumentada para identificar as posições pivô. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema linear e a matriz aumentada. A matriz dos coeficientes é formada pelos coeficientes de , e nas três equações:
A matriz aumentada inclui os termos constantes do sistema:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes det(A) = 1 cdot 1 & 1 1 & k - k cdot k & 1 k & k + k cdot k & 1 k & 1 . O determinante nos ajuda a saber se o sistema tem uma única solução ou não. Se 1 & 1 1 & k , o sistema tem uma única solução. Se k & 1 k & k , precisamos analisar mais a fundo.
Calculando o determinante de k & 1 k & 1 :
det(A) = 1 cdot (k - 1) - k cdot (k^2 - k) + k cdot 0 = k - 1 - k^3 + k^2
Vamos calcular cada um desses menores determinantes:
det(A) = -k^3 + k^2 + k - 1
Substituindo de volta no determinante:
Simplificando:
Passo 4
Vamos analisar quando -k^3 + k^2 + k - 1 neq 0 e -k^3 + k^2 + k - 1 = -(k^3 - k^2 - k + 1) .
a) Uma única solução:
O sistema terá uma única solução quando 1 - 1 - 1 + 1 = 0 . Então, resolvemos a equação:
Então, é um fator. Fazendo a divisão polinomial ou usando agrupamento:
Portanto:
Então, quando , ou seja, quando e .
b) Infinitas soluções e c) Nenhuma solução:
Isso ocorre quando , ou seja, quando ou . Precisamos verificar cada caso separadamente.
Passo 5
Vamos analisar os casos onde & x + 1 cdot y + 1 cdot z = -1 & 1 cdot x + y + z = 1 & 1 cdot x + y + 1 cdot z = 1 :
Caso 1: & x + y + z = -1 (1) & x + y + z = 1 (2) & x + y + z = 1 (3)
Substituindo & x - y - z = 1 (1) & -x + y + z = -1 (2) & -x + y - z = -1 (3) no sistema:
(x - y - z) + (-x + y + z) = 1 + (-1) 0 = 0
Simplificando:
(-x + y + z) - (-x + y - z) = -1 - (-1) (-x + y + z) + x - y + z = -1 + 1 2z = 0 z = 0
Observamos que a equação (1) é x - y = 1 (1) , enquanto as equações (2) e (3) são -x + y = -1 (3) . Isso gera uma contradição, pois (x - y) + (-x + y) = 1 + (-1) 0 = 0 . Portanto, quando x = y + 1 , o sistema não tem solução.
Conclusão para : O sistema não tem solução.
Caso 2:
Substituindo no sistema:
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as equações (1) e (2):
Isso nos dá uma equação verdadeira, mas não traz informação nova. Vamos subtrair a equação (3) da equação (2):
Agora, substituímos na equação (1):
E na equação (3):
Somando as equações (1) e (3):
Isso indica que temos infinitas soluções, com uma variável livre. Podemos expressar em termos de :
De :
E .
Portanto, para , o sistema tem infinitas soluções.
Passo 6
Resumo dos resultados:
a) Uma única solução: Para todos os valores de exceto e .
b) Infinitas soluções: Quando .
c) Nenhuma solução: Quando .
Passo 7
Agora, vamos determinar as posições pivô da matriz aumentada [A|b] = 1 & k & k & | & -k k & 1 & 1 & | & k k & 1 & k & | & k em função de 1 & k & k & | & -k k & 1 & 1 & | & k k & 1 & k & | & k . As posições pivô são os primeiros elementos não nulos de cada linha em sua forma escalonada.
A matriz aumentada é:
k - k cdot 1 = 0 1 - k cdot k = 1 - k^2 1 - k cdot k = 1 - k^2 k - k cdot (-k) = k + k^2
Vamos aplicar o método de eliminação de Gauss para trazer a matriz à forma escalonada.
Passo 1: Manter a primeira linha como está:
0 & 1 - k^2 & 1 - k^2 & | & k + k^2
Passo 2: Eliminar o k - k cdot 1 = 0 1 - k cdot k = 1 - k^2 k - k cdot k = k - k^2 k - k cdot (-k) = k + k^2 das linhas 2 e 3 usando a linha 1.
Linha 2: 0 & 1 - k^2 & k - k^2 & | & k + k^2 :
1 & k & k & | & -k 0 & 1 - k^2 & 1 - k^2 & | & k + k^2 0 & 1 - k^2 & k - k^2 & | & k + k^2
Então, a linha 2 fica:
0 & 1 & 1 & | & -k + k^2k^2 - 1
Linha 3: 0 & 1 & k - k^21 - k^2 & | & -k + k^2k^2 - 1 :