Encontre todos os valores de para os quais o sistema tem a) uma única solução, b) infinitas soluções e c) não tem solução. Depois disso, determine as posições pivô da matriz aumentada do sistema em função de .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas:
O que precisamos descobrir é para quais valores de o sistema tem:
a) uma única solução,
b) infinitas soluções,
c) nenhuma solução.
Depois disso, vamos determinar as posições pivô da matriz aumentada do sistema em função de .
Para resolver isso, vamos usar o método da regra de Cramer e analisar o determinante da matriz dos coeficientes, além de montar a matriz aumentada para identificar as posições pivô. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema linear e a matriz aumentada. A matriz dos coeficientes é formada pelos coeficientes de , e nas três equações:
A matriz aumentada inclui os termos constantes do sistema:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes . O determinante nos ajuda a saber se o sistema tem uma única solução ou não. Se , o sistema tem uma única solução. Se , precisamos analisar mais a fundo.
Calculando o determinante de :
Vamos calcular cada um desses menores determinantes:
Substituindo de volta no determinante:
Simplificando:
Passo 4
Vamos analisar quando e .
a) Uma única solução:
O sistema terá uma única solução quando . Então, resolvemos a equação:
Vamos fatorar essa expressão:
Vamos fatorar o polinômio . Testando :
Então, é um fator. Fazendo a divisão polinomial ou usando agrupamento:
Portanto:
Então, quando , ou seja, quando e .
b) Infinitas soluções e c) Nenhuma solução:
Isso ocorre quando , ou seja, quando ou . Precisamos verificar cada caso separadamente.
Passo 5
Vamos analisar os casos onde :
Caso 1:
Substituindo no sistema:
Simplificando:
Observamos que a equação (1) é , enquanto as equações (2) e (3) são . Isso gera uma contradição, pois . Portanto, quando , o sistema não tem solução.
Conclusão para : O sistema não tem solução.
Caso 2:
Substituindo no sistema:
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as equações (1) e (2):
Isso nos dá uma equação verdadeira, mas não traz informação nova. Vamos subtrair a equação (3) da equação (2):
Agora, substituímos na equação (1):
E na equação (3):
Somando as equações (1) e (3):
Isso indica que temos infinitas soluções, com uma variável livre. Podemos expressar em termos de :
De :
E .
Portanto, para , o sistema tem infinitas soluções.
Passo 6
Resumo dos resultados:
a) Uma única solução: Para todos os valores de exceto e .
b) Infinitas soluções: Quando .
c) Nenhuma solução: Quando .
Passo 7
Agora, vamos determinar as posições pivô da matriz aumentada em função de . As posições pivô são os primeiros elementos não nulos de cada linha em sua forma escalonada.
A matriz aumentada é:
Vamos aplicar o método de eliminação de Gauss para trazer a matriz à forma escalonada.
Passo 1: Manter a primeira linha como está:
Passo 2: Eliminar o das linhas 2 e 3 usando a linha 1.
Linha 2: :
Então, a linha 2 fica:
Linha 3: :
Então, a linha 3 fica:
Agora, a matriz fica:
Passo 3: Simplificar as linhas 2 e 3.
Observamos que . Se , podemos simplificar dividindo as linhas pelo fator .
Então, a linha 2 torna-se:
E a linha 3:
Simplificando
Então, a linha 3 fica:
Agora, subtraímos a linha 2 da linha 3 para eliminar o :
Linha 3’: :
Simplificando:
E do lado direito:
Mas se e , podemos simplificar:
Portanto, a linha 3’ se torna:
Assim, a matriz escalonada é:
As posições pivô são:
Primeira linha: coluna (posição 1)
Segunda linha: coluna (posição 2)
Terceira linha: coluna (posição 3)
Conclusão: As posições pivô da matriz aumentada são nas colunas de , e , ou seja, posições 1, 2 e 3, para e .
Resposta
a) O sistema tem uma única solução para todos os valores de exceto e .
b) O sistema tem infinitas soluções quando .
c) O sistema não tem solução quando .
As posições pivô da matriz aumentada são nas colunas de , e (posições 1, 2 e 3) para e .