Sejam u e v vetores de um espaço vetorial E com produto interno. Prove que
||u|-|v|| <=|u-v|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, u e v, em um espaço vetorial que tem um produto interno (basicamente, um jeito de multiplicar vetores para medir ângulos e comprimentos). O que temos que provar é que a diferença entre os comprimentos desses vetores, ou seja, ||u| - |v||, é menor ou igual ao comprimento da diferença entre eles, que é |u - v|. Para resolver isso, vamos usar propriedades das normas e do produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma norma de um vetor. A norma, representada por |u|, é basicamente o comprimento do vetor u. Em espaços com produto interno, a norma é calculada pela raiz quadrada do produto interno do vetor consigo mesmo: |u| = raizlang<= u, u rang<=.

Passo 3

Agora, vamos considerar a diferença dos vetores u - v. A norma dessa diferença é |u - v| = raizlang<= u - v, u - v rang<=. Vamos expandir esse produto interno usando a propriedade distributiva:
lang<= u - v, u - v rang<= = lang<= u, u rang<= - 2lang<= u, v rang<= + lang<= v, v rang<=
Então:
|u - v| = raiz|u|^2 - 2lang<= u, v rang<= + |v|^2

Passo 4

Agora, vamos lembrar da desigualdade do triângulo, que diz que |u + v| <= |u| + |v|. A desigualdade reversa do triângulo é uma variação que nos diz que ||u| - |v|| <= |u - v|. Essa desigualdade é útil para comparar os comprimentos dos vetores e suas diferenças.

Passo 5

Para provar a desigualdade, vamos começar com o quadrado dos dois lados da desigualdade que queremos provar:
(||u| - |v||)^2 <= |u - v|^2
Expandindo ambos os lados, temos:
|u|^2 - 2|u||v| + |v|^2 <= |u|^2 - 2lang<= u, v rang<= + |v|^2

Passo 6

Agora, podemos simplificar ambos os lados da desigualdade cancelando termos iguais:
-2|u||v| <= -2lang<= u, v rang<=
Dividindo ambos os lados por -2 (lembrando que ao dividir por um número negativo, a desigualdade inverte o sentido):
|u||v| >= lang<= u, v rang<=

Passo 7

Essa última desigualdade, |u||v| >= lang<= u, v rang<=, é conhecida como a desigualdade de Cauchy-Schwarz, uma propriedade fundamental dos produtos internos que afirma exatamente isso: o produto interno de dois vetores é menor ou igual ao produto das suas normas.

Resposta

Assim, mostramos que ||u| - |v|| <= |u - v|, conforme queríamos provar.

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