Sejam e vetores de um espaço vetorial com produto interno. Prove que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, e , em um espaço vetorial que tem um produto interno (basicamente, um jeito de multiplicar vetores para medir ângulos e comprimentos). O que temos que provar é que a diferença entre os comprimentos desses vetores, ou seja, , é menor ou igual ao comprimento da diferença entre eles, que é . Para resolver isso, vamos usar propriedades das normas e do produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma norma de um vetor. A norma, representada por , é basicamente o comprimento do vetor . Em espaços com produto interno, a norma é calculada pela raiz quadrada do produto interno do vetor consigo mesmo: .
Passo 3
Agora, vamos considerar a diferença dos vetores . A norma dessa diferença é . Vamos expandir esse produto interno usando a propriedade distributiva:
Então:
Passo 4
Agora, vamos lembrar da desigualdade do triângulo, que diz que . A desigualdade reversa do triângulo é uma variação que nos diz que . Essa desigualdade é útil para comparar os comprimentos dos vetores e suas diferenças.
Passo 5
Para provar a desigualdade, vamos começar com o quadrado dos dois lados da desigualdade que queremos provar:
Expandindo ambos os lados, temos:
Passo 6
Agora, podemos simplificar ambos os lados da desigualdade cancelando termos iguais:
Dividindo ambos os lados por (lembrando que ao dividir por um número negativo, a desigualdade inverte o sentido):
Passo 7
Essa última desigualdade, , é conhecida como a desigualdade de Cauchy-Schwarz, uma propriedade fundamental dos produtos internos que afirma exatamente isso: o produto interno de dois vetores é menor ou igual ao produto das suas normas.