Considere a matriz .
(a) Escreva as soluções do sistema na forma vetorial.
(b) Descreva as relações de dependência linear entre as colunas de e encontre uma base de .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz de tamanho e precisamos resolver duas partes:
a) Encontrar as soluções do sistema homogêneo na forma vetorial.
b) Descrever as relações de dependência linear entre as colunas de e encontrar uma base para o espaço coluna de , ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Álgebra Linear, como sistemas lineares, espaço nulo, espaço coluna, dependência linear e bases. Vamos resolver passo a passo para entender bem cada parte.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a). Queremos resolver o sistema homogêneo . Primeiro, precisamos escrever o sistema de equações lineares correspondente à matriz :
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar as soluções. O método mais eficiente aqui é usar a eliminação de Gauss para reduzir a matriz aumentada a uma forma escalonada, facilitando a identificação das soluções livres e restritas.
Vamos montar a matriz aumentada e aplicar as operações de linha:
Passo 4
Primeiro, subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira para eliminar :
Linha 2: Linha 2 - Linha 1 →
Linha 3: Linha 3 + Linha 1 →
A matriz fica:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a segunda linha multiplicando por -1:
Linha 2:
E usaremos a segunda linha para eliminar nas outras linhas:
Linha 3: Linha 3 - 3 × Linha 2 →
Linha 4: Linha 4 - Linha 2 →
A matriz fica:
Passo 6
Observamos que as linhas 3 e 4 são iguais, então podemos eliminar uma delas. Vamos manter apenas a terceira linha:
Agora, reescrevemos o sistema de equações:
Passo 7
Vamos resolver de baixo para cima. Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo e na primeira equação:
Passo 8
Agora, expressamos todas as variáveis em termos das variáveis livres, que são e :
Podemos escrever o vetor solução da seguinte forma:
Passo 9
Agora, vamos para a parte (b). Queremos descrever as relações de dependência linear entre as colunas de e encontrar uma base para .
Primeiro, vamos entender que as colunas de são vetores no espaço e queremos identificar quais colunas são combinações lineares das outras, ou seja, quais colunas são dependentes.
Passo 10
Para encontrar as relações de dependência, observamos que no processo de resolução do sistema , encontramos que , , e podem ser expressos em termos de e . Isso indica que as colunas correspondentes a , e são combinações lineares das colunas correspondentes a e .
Portanto, as colunas 3 e 4 são as colunas que formam a base para , já que são as colunas que não podem ser escritas como combinação linear das outras.
Passo 11
Em resumo, as relações de dependência linear são:
Isso mostra que as colunas 1, 2 e 5 dependem das colunas 3 e 4.
Passo 12
Portanto, uma base para é formada pelas colunas 3 e 4 da matriz :