Seja um ponto de e considere os pontos tais que e . Determine a menor área possível para o triângulo , em que percorre .

Passo 1

Então, temos um exercício de geometria no espaço tridimensional. Nos dão três pontos , e com coordenadas vetoriais em relação à origem . O objetivo é encontrar a menor área possível para o triângulo quando o parâmetro varia em todos os números reais. Para resolver isso, vamos usar vetores e o cálculo de área de triângulos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que formam os lados do triângulo . Isso significa calcular os vetores e .
A coordenada vetorial de é .
A coordenada vetorial de é .
A coordenada vetorial de é .
Então, o vetor é dado por:
E o vetor é:

Passo 3

Para encontrar a área do triângulo , usamos a fórmula que envolve o produto vetorial dos vetores e . A área é metade do módulo desse produto vetorial:

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial . Com e , temos:

Passo 5

Agora, calculamos o módulo desse vetor:
Então, a área fica:

Passo 6

Para encontrar a menor área, precisamos minimizar a expressão dentro da raiz quadrada:
Essa é uma função quadrática, e o seu mínimo ocorre no vértice da parábola. O valor de que minimiza é:
Calculando :

Passo 7

Portanto, a menor área possível para o triângulo é:

Resposta

A menor área possível para o triângulo é unidades de área.

Exercícios relacionados

Resolver a Equação Diferencial:
Ex. 6. Simplifique as expressões algébricas abaixo:
(j) ;
Considere a matriz .
(a) Escreva as soluções do sistema na forma vetorial.
(b) Descreva as relações de dependência linear entre as colunas de e encontre uma base de .
Ex. 6. Simplifique as expressões algébricas abaixo:
(n) ;