Seja O um ponto de E^3 e considere os pontos R, S, T tais que O R=(12,-7,9), O S=(14,-6,9) e O T=(t+11, t-7,10). Determine a menor área possível para o triângulo R S T, em que t percorre R.

Passo 1

Então, temos um exercício de geometria no espaço tridimensional. Nos dão três pontos , e com coordenadas vetoriais em relação à origem . O objetivo é encontrar a menor área possível para o triângulo quando o parâmetro varia em todos os números reais. Para resolver isso, vamos usar vetores e o cálculo de área de triângulos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que formam os lados do triângulo RS = OS - OR = (14-12, -6-(-7), 9-9) = (2, 1, 0) . Isso significa calcular os vetores RT = OT - OR = ((t+11)-12, (t-7)-(-7), 10-9) = (t-1, t, 1) e .
A coordenada vetorial de é .
A coordenada vetorial de é .
A coordenada vetorial de é .
Então, o vetor é dado por:
E o vetor é:

Passo 3

Para encontrar a área do triângulo A = 12 | RS times RT | , usamos a fórmula que envolve o produto vetorial dos vetores e . A área é metade do módulo desse produto vetorial:

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial RS times RT = i & j & k 2 & 1 & 0 t-1 & t & 1 . Com = i(1 cdot 1 - 0 cdot t) - j(2 cdot 1 - 0 cdot (t-1)) + k(2 cdot t - 1 cdot (t-1)) e = (1, -2, t + 1) , temos:

Passo 5

Agora, calculamos o módulo desse vetor:
| RS times RT | = raiz1^2 + (-2)^2 + (t + 1)^2 = raiz1 + 4 + (t + 1)^2 = raizt^2 + 2t + 6
Então, a área A = 12 raizt^2 + 2t + 6 fica:

Passo 6

Para encontrar a menor área, precisamos minimizar a expressão dentro da raiz quadrada:
f(t) = t^2 + 2t + 6
Essa é uma função quadrática, e o seu mínimo ocorre no vértice da parábola. O valor de t = -b2a = -22 cdot 1 = -1 que minimiza f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 6 = 1 - 2 + 6 = 5 é:
Calculando :

Passo 7

Portanto, a menor área possível para o triângulo A = 12 raiz5 é:

Resposta

A menor área possível para o triângulo é unidades de área.

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