Seja um ponto de e considere os pontos tais que e . Determine a menor área possível para o triângulo , em que percorre .
Passo 1
Então, temos um exercício de geometria no espaço tridimensional. Nos dão três pontos , e com coordenadas vetoriais em relação à origem . O objetivo é encontrar a menor área possível para o triângulo quando o parâmetro varia em todos os números reais. Para resolver isso, vamos usar vetores e o cálculo de área de triângulos no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores que formam os lados do triângulo . Isso significa calcular os vetores e .
A coordenada vetorial de é .
A coordenada vetorial de é .
A coordenada vetorial de é .
Então, o vetor é dado por:
E o vetor é:
Passo 3
Para encontrar a área do triângulo , usamos a fórmula que envolve o produto vetorial dos vetores e . A área é metade do módulo desse produto vetorial:
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial . Com e , temos:
Passo 5
Agora, calculamos o módulo desse vetor:
Então, a área fica:
Passo 6
Para encontrar a menor área, precisamos minimizar a expressão dentro da raiz quadrada:
Essa é uma função quadrática, e o seu mínimo ocorre no vértice da parábola. O valor de que minimiza é:
Calculando :
Passo 7
Portanto, a menor área possível para o triângulo é:
Resposta
A menor área possível para o triângulo é unidades de área.