Seja um ponto de e considere os pontos tais que e O T=(t+11, t-7,10). Determine a menor área possível para o triângulo R S T, em que t percorre R.
Passo 1
Então, temos um exercício de geometria no espaço tridimensional. Nos dão três pontos , e com coordenadas vetoriais em relação à origem . O objetivo é encontrar a menor área possível para o triângulo quando o parâmetro varia em todos os números reais. Para resolver isso, vamos usar vetores e o cálculo de área de triângulos no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores que formam os lados do triângulo RS = OS - OR = (14-12, -6-(-7), 9-9) = (2, 1, 0) . Isso significa calcular os vetores RT = OT - OR = ((t+11)-12, (t-7)-(-7), 10-9) = (t-1, t, 1) e .
A coordenada vetorial de é .
A coordenada vetorial de é .
A coordenada vetorial de é .
Então, o vetor é dado por:
E o vetor é:
Passo 3
Para encontrar a área do triângulo A = 12 | RS times RT | , usamos a fórmula que envolve o produto vetorial dos vetores e . A área é metade do módulo desse produto vetorial:
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial RS times RT = i & j & k 2 & 1 & 0 t-1 & t & 1 . Com = i(1 cdot 1 - 0 cdot t) - j(2 cdot 1 - 0 cdot (t-1)) + k(2 cdot t - 1 cdot (t-1)) e = (1, -2, t + 1) , temos:
Para encontrar a menor área, precisamos minimizar a expressão dentro da raiz quadrada:
f(t) = t^2 + 2t + 6
Essa é uma função quadrática, e o seu mínimo ocorre no vértice da parábola. O valor de t = -b2a = -22 cdot 1 = -1 que minimiza f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 6 = 1 - 2 + 6 = 5 é:
Calculando :
Passo 7
Portanto, a menor área possível para o triângulo A = 12 raiz5 é:
Resposta
A menor área possível para o triângulo é unidades de área.