Resolver a Equação com Condição Inicial:
d yd x-4 y=e^2 x com y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. A equação que temos é:
dydx - 4y = e^2x com y(0) = 1
Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos que essa é uma equação diferencial linear da forma:
dydx + P(x)y = Q(x)
Aqui, P(x) = -4 e Q(x) = e^2x.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x)dx = e^integral -4 dx = e^-4x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x):
e^-4x cdot dydx - 4e^-4xy = e^-4xe^2x
Simplificando o lado direito:
e^-4xe^2x = e^-2x

Passo 5

Agora, a equação fica:
ddx(ye^-4x) = e^-2x
Isso porque a parte esquerda é a derivada do produto ye^-4x.

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x:
ye^-4x = integral e^-2x dx + C
A integral de e^-2x é:
integral e^-2x dx = -12e^-2x + C
Então:
ye^-4x = -12e^-2x + C

Passo 7

Agora, resolvemos para y multiplicando ambos os lados por e^4x:
y = -12e^2x + Ce^4x

Passo 8

Aplicamos a condição inicial y(0) = 1 para encontrar C:
1 = -12e^0 + Ce^0 1 = -12 + C C = 1 + 12 C = 32

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = -12e^2x + 32e^4x

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