Considere A uma matriz cujas colunas são formadas pelos vetores a1, a2, a3 in R^3. Seja B uma matriz cujas colunas b1, b2, b3 satisfazem: b1=6 a1+5 a2+3 a3, b2=2 a1+2 a2+6 a3 e b3=2 a1+2 a2+5 a3. Sabendo que det(A)=-4, assinale o valor do det(B) :
(A) 0
(B) 20
© 16
(D) -8
(E) 12
(F) -4
(G) 4
(H) 8
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre matrizes e determinantes. Temos duas matrizes, e , onde as colunas de são combinações lineares das colunas de . Precisamos calcular o determinante de sabendo que o determinante de é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se uma matriz det(B) = det(A) times det(C) é o resultado da multiplicação de por outra matriz , então o determinante de é o produto dos determinantes de e . Ou seja:
Então, precisamos encontrar a matriz que conecta a .

Passo 3

As colunas de b1 = 6a1 + 5a2 + 3a3 são combinações das colunas de b2 = 2a1 + 2a2 + 6a3 :
b3 = 2a1 + 2a2 + 5a3
C = 6 & 2 & 2 5 & 2 & 2 3 & 6 & 5
Isso significa que a matriz que multiplica para formar é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante da matriz det(C) = c11(c22c33 - c23c32) - c12(c21c33 - c23c31) + c13(c21c32 - c22c31)) . Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
det(C) = 6(2 times 5 - 2 times 6) - 2(5 times 5 - 2 times 3) + 2(5 times 6 - 2 times 3)
Aplicando os valores de det(C) = 6(10 - 12) - 2(25 - 6) + 2(30 - 6) :
det(C) = 6(-2) - 2(19) + 2(24)
det(C) = -12 - 38 + 48 = -2
Então, .

Passo 5

Finalmente, usamos a relação entre os determinantes de det(B) = det(A) times det(C) = (-4) times (-2) = 8 e :

Resposta

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