Seja A uma matriz simétrica 5 times 5 e f(v)=v^T A v a forma quadrática associada. Se o espectro de A é 7,1,3, podemos afirmar que:
(A) f(v)>0 para todo v neq 0.
(B) f(v) <= 0 para todo v e existe w neq 0 com f(w)=0.
© f(v) >= 0 para todo v e existe w neq 0 com f(w)=0.
(D) existem v e w tais que f(v)<0.
(E) f(v)<0 para todo v neq 0.
(F) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz simétrica de e uma forma quadrática . O espectro de é . Nosso objetivo é determinar qual das alternativas sobre está correta. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de matrizes simétricas, espectro (autovalores) e propriedades das formas quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica possui todos os seus autovalores reais. O espectro de uma matriz é o conjunto de seus autovalores. No caso, a matriz tem autovalores e . Como é , isso significa que alguns desses valores se repetem para completar os 5 autovalores necessários.

Passo 3

A forma quadrática tem propriedades que dependem dos autovalores da matriz . Se todos os autovalores são positivos, a forma quadrática é definida positiva, ou seja, para todo . Se todos forem negativos, é definida negativa. Se houver uma mistura de positivos e negativos, a forma é indefinida. Se houver autovalores positivos e zero, é semidefinida positiva, e similarmente para semidefinida negativa.

Passo 4

No nosso caso, os autovalores são e , todos positivos. Mesmo considerando as multiplicidades, uma vez que todos os autovalores são positivos, a forma quadrática será sempre positiva para qualquer .

Passo 5

Vamos analisar as alternativas:
  • (A) para todo .
    Correta, pois todos os autovalores são positivos.
  • (B) para todo e existe com .
    Incorreta, pois é sempre positiva.
  • © para todo e existe com .
    Incorreta, mesmo não sendo negativa, não há vetores para os quais .
  • (D) Existem e tais que .
    Incorreta, já que nunca é negativo.
  • (E) para todo .
    Incorreta, pois é sempre positiva.

Resposta

A alternativa correta é a (A) para todo .

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