Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz simétrica de e uma forma quadrática . O espectro de é . Nosso objetivo é determinar qual das alternativas sobre está correta. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de matrizes simétricas, espectro (autovalores) e propriedades das formas quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica possui todos os seus autovalores reais. O espectro de uma matriz é o conjunto de seus autovalores. No caso, a matriz tem autovalores e . Como é , isso significa que alguns desses valores se repetem para completar os 5 autovalores necessários.
Passo 3
A forma quadrática tem propriedades que dependem dos autovalores da matriz . Se todos os autovalores são positivos, a forma quadrática é definida positiva, ou seja, para todo . Se todos forem negativos, é definida negativa. Se houver uma mistura de positivos e negativos, a forma é indefinida. Se houver autovalores positivos e zero, é semidefinida positiva, e similarmente para semidefinida negativa.
Passo 4
No nosso caso, os autovalores são e , todos positivos. Mesmo considerando as multiplicidades, uma vez que todos os autovalores são positivos, a forma quadrática será sempre positiva para qualquer .
Passo 5
Vamos analisar as alternativas:
(A) para todo . Correta, pois todos os autovalores são positivos.
(B) para todo e existe com . Incorreta, pois é sempre positiva.