Seja uma matriz simétrica e a forma quadrática associada. Se o espectro de é , podemos afirmar que:
(A) para todo .
(B) para todo e existe com .
© para todo e existe com .
(D) existem e tais que .
(E) para todo .
(F) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz simétrica de e uma forma quadrática . O espectro de é . Nosso objetivo é determinar qual das alternativas sobre está correta. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de matrizes simétricas, espectro (autovalores) e propriedades das formas quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica possui todos os seus autovalores reais. O espectro de uma matriz é o conjunto de seus autovalores. No caso, a matriz tem autovalores e . Como é , isso significa que alguns desses valores se repetem para completar os 5 autovalores necessários.

Passo 3

A forma quadrática tem propriedades que dependem dos autovalores da matriz . Se todos os autovalores são positivos, a forma quadrática é definida positiva, ou seja, para todo . Se todos forem negativos, é definida negativa. Se houver uma mistura de positivos e negativos, a forma é indefinida. Se houver autovalores positivos e zero, é semidefinida positiva, e similarmente para semidefinida negativa.

Passo 4

No nosso caso, os autovalores são e , todos positivos. Mesmo considerando as multiplicidades, uma vez que todos os autovalores são positivos, a forma quadrática será sempre positiva para qualquer .

Passo 5

Vamos analisar as alternativas:
  • (A) para todo .
    Correta, pois todos os autovalores são positivos.
  • (B) para todo e existe com .
    Incorreta, pois é sempre positiva.
  • © para todo e existe com .
    Incorreta, mesmo não sendo negativa, não há vetores para os quais .
  • (D) Existem e tais que .
    Incorreta, já que nunca é negativo.
  • (E) para todo .
    Incorreta, pois é sempre positiva.

Resposta

A alternativa correta é a (A) para todo .

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Resolva o sistema:
Seja a transformação
e seja um paralelepípedo com volume 5 . O volume do paralelepípedo transformado :
(A) é maior do que o volume de .
(B) pode ser maior ou menor do que o volume de .
© é igual ao volume de .
(D) é menor do que o volume de .
(E) Não sei
Seja o conjunto dos tais que:
A dimensão de é:
(E) 4