Seja
uma matriz simétrica
e
a forma quadrática associada. Se o espectro de
é
, podemos afirmar que:
(A)
para todo
.
(B)
para todo
e existe
com
.
©
para todo
e existe
com
.
(D) existem
e
tais que
.
(E)
para todo
.
(F) Não sei
(A)
(B)
©
(D) existem
(E)
(F) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz simétrica
de
e uma forma quadrática
. O espectro de
é
. Nosso objetivo é determinar qual das alternativas sobre
está correta. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de matrizes simétricas, espectro (autovalores) e propriedades das formas quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica possui todos os seus autovalores reais. O espectro de uma matriz é o conjunto de seus autovalores. No caso, a matriz
tem autovalores
e
. Como
é
, isso significa que alguns desses valores se repetem para completar os 5 autovalores necessários.
Passo 3
A forma quadrática
tem propriedades que dependem dos autovalores da matriz
. Se todos os autovalores são positivos, a forma quadrática é definida positiva, ou seja,
para todo
. Se todos forem negativos, é definida negativa. Se houver uma mistura de positivos e negativos, a forma é indefinida. Se houver autovalores positivos e zero, é semidefinida positiva, e similarmente para semidefinida negativa.
Passo 4
No nosso caso, os autovalores são
e
, todos positivos. Mesmo considerando as multiplicidades, uma vez que todos os autovalores são positivos, a forma quadrática
será sempre positiva para qualquer
.
Passo 5
Vamos analisar as alternativas:
-
(A)
para todo .
Correta, pois todos os autovalores são positivos. -
(B)
para todo e existe com .
Incorreta, poisé sempre positiva. -
©
para todo e existe com .
Incorreta, mesmo não sendo negativa, não há vetores para os quais. -
(D) Existem
e tais que .
Incorreta, já quenunca é negativo. -
(E)
para todo .
Incorreta, poisé sempre positiva.
Resposta
A alternativa correta é a (A)
para todo
.