Seja
uma matriz simétrica
e
a forma quadrática associada. Se o espectro de
é
, podemos afirmar que:
(A)
para todo
.
(B)
para todo
e existe
com
.
©
para todo
e existe
.
(D) existem
e
tais que
.
(E)
para todo
.
(F) Não sei
(A)
(B)
©
(D) existem
(E)
(F) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma matriz simétrica
de tamanho
e uma forma quadrática associada a ela, que é
. Além disso, sabemos que o espectro de
(ou seja, os valores próprios de
) são
. Nosso objetivo é determinar qual das alternativas (A) a (F) está correta com base nessas informações. Para resolver isso, vamos precisar entender como os valores próprios de uma matriz simétrica influenciam o comportamento da forma quadrática associada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma forma quadrática. Ela é uma expressão do tipo
, onde
é um vetor e
é uma matriz simétrica. Essa forma quadrática nos dá um valor escalar para cada vetor
.
Passo 3
Agora, como os valores próprios de
afetam
? Bem, uma matriz simétrica pode ser diagonalizada, o que significa que podemos escrevê-la como
, onde
é uma matriz ortogonal cujas colunas são os autovetores de
, e
é uma matriz diagonal cujos elementos são os valores próprios de
.
Passo 4
Substituindo essa forma diagonalizada na forma quadrática, temos:
Vamos fazer a substituição
. Como
é ortogonal,
é apenas uma rotacionação de
. Assim, a expressão fica:
onde
são os valores próprios de
.
Passo 5
Sabemos que os valores próprios são
. Isso significa que:
-
-
-
E os outros dois valores próprios também sãoou .
Passo 6
Agora, vamos analisar a expressão:
Como os coeficientes
e
são positivos, e
não contribui negativamente, podemos ver que
será sempre não negativo, ou seja,
para todo
.
Passo 7
Além disso, existe pelo menos um vetor
tal que
. Isso acontece quando os componentes correspondentes aos valores próprios positivos são zero. Por exemplo, se
for diferente de zero e
, então
.
Resposta
©
para todo
e existe
com
.