Seja A uma matriz simétrica 5 times 5 e f(v)=v^T A v a forma quadrática associada. Se o espectro de A é 0,2,3, podemos afirmar que:
(A) f(v)>0 para todo v neq 0.
(B) f(v) <= 0 para todo v e existe w neq 0 com f(w)=0.
© f(v) >= 0 para todo v e existe w neq 0 com f(w)=0.
(D) existem v e w tais que f(v)<0.
(E) f(v)<0 para todo v neq 0.
(F) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma matriz simétrica de tamanho e uma forma quadrática associada a ela, que é . Além disso, sabemos que o espectro de (ou seja, os valores próprios de ) são . Nosso objetivo é determinar qual das alternativas (A) a (F) está correta com base nessas informações. Para resolver isso, vamos precisar entender como os valores próprios de uma matriz simétrica influenciam o comportamento da forma quadrática associada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma forma quadrática. Ela é uma expressão do tipo , onde é um vetor e é uma matriz simétrica. Essa forma quadrática nos dá um valor escalar para cada vetor .

Passo 3

Agora, como os valores próprios de afetam ? Bem, uma matriz simétrica pode ser diagonalizada, o que significa que podemos escrevê-la como , onde é uma matriz ortogonal cujas colunas são os autovetores de , e é uma matriz diagonal cujos elementos são os valores próprios de .

Passo 4

Substituindo essa forma diagonalizada na forma quadrática, temos:
f(v) = v^T Q Lambda Q^T v
Vamos fazer a substituição f(v) = u^T Lambda u = sumi=1^5 lambdai ui^2 . Como é ortogonal, é apenas uma rotacionação de . Assim, a expressão fica:
onde são os valores próprios de .

Passo 5

Sabemos que os valores próprios são . Isso significa que:

  • E os outros dois valores próprios também são ou .

Passo 6

Agora, vamos analisar a expressão:
f(v) = 0 cdot u1^2 + 2 cdot u2^2 + 3 cdot u3^2 + dotsb
Como os coeficientes e são positivos, e não contribui negativamente, podemos ver que será sempre não negativo, ou seja, para todo .

Passo 7

Além disso, existe pelo menos um vetor tal que . Isso acontece quando os componentes correspondentes aos valores próprios positivos são zero. Por exemplo, se for diferente de zero e , então .

Resposta

© para todo e existe com .

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