Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma matriz simétrica de tamanho e uma forma quadrática associada a ela, que é . Além disso, sabemos que o espectro de (ou seja, os valores próprios de ) são . Nosso objetivo é determinar qual das alternativas (A) a (F) está correta com base nessas informações. Para resolver isso, vamos precisar entender como os valores próprios de uma matriz simétrica influenciam o comportamento da forma quadrática associada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma forma quadrática. Ela é uma expressão do tipo , onde é um vetor e é uma matriz simétrica. Essa forma quadrática nos dá um valor escalar para cada vetor .
Passo 3
Agora, como os valores próprios de afetam ? Bem, uma matriz simétrica pode ser diagonalizada, o que significa que podemos escrevê-la como , onde é uma matriz ortogonal cujas colunas são os autovetores de , e é uma matriz diagonal cujos elementos são os valores próprios de .
Passo 4
Substituindo essa forma diagonalizada na forma quadrática, temos:
Vamos fazer a substituição . Como é ortogonal, é apenas uma rotacionação de . Assim, a expressão fica:
onde são os valores próprios de .
Passo 5
Sabemos que os valores próprios são . Isso significa que:
E os outros dois valores próprios também são ou .
Passo 6
Agora, vamos analisar a expressão:
Como os coeficientes e são positivos, e não contribui negativamente, podemos ver que será sempre não negativo, ou seja, para todo .
Passo 7
Além disso, existe pelo menos um vetor tal que . Isso acontece quando os componentes correspondentes aos valores próprios positivos são zero. Por exemplo, se for diferente de zero e , então .