Considere a matriz A dada por:
Determine, se possivel, uma matriz invertivel de modo que seja uma matriz diagonal.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz de ordem e precisamos descobrir se existe uma matriz invertível também de ordem tal que, ao fazer a operação , a gente obtenha uma matriz diagonal. Isso está dentro do conteúdo de diagonalização de matrizes, que envolve conceitos como autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, para saber se a matriz é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores. Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica de , que é dada por:
Onde é a matriz identidade de ordem 4 e representa os autovalores.

Passo 3

Vamos montar a matriz :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz.

Passo 4

Calculando o determinante:
Após simplificar, chegamos ao polinômio característico:

Passo 5

Agora, vamos encontrar as raízes desse polinômio, ou seja, os autovalores de . Utilizando métodos de fatoração ou a fórmula de Newton, encontramos que os autovalores são:

Passo 6

Para que a matriz seja diagonalizável, precisamos que o número de autovetores seja igual à dimensão da matriz, ou seja, que haja 4 autovetores linearmente independentes. No entanto, observamos que dois dos autovalores são complexos conjugados ( e ), o que não afeta a diagonalização sobre os números reais, mas limita a matriz a ter entradas complexas.

Passo 7

Como estamos trabalhando com matrizes reais, e tem autovalores complexos, ela não pode ser diagonalizada usando apenas matrizes reais. Isso significa que não existe uma matriz real invertível tal que seja diagonal.

Resposta

Não é possível encontrar uma matriz invertível real tal que seja uma matriz diagonal.

Exercícios relacionados

Dê um exemplo de operador linear diagonalizável sobre satisfazendo simultaneamente as seguintes propriedades:
a) é um autovalor de
b)
c) não nulo.
Seja um subconjunto do .
Encontre um conjunto de geradores para .
Considere os vetores e . Para cada um dos itens abaixo indique se é verdadeiro ou falso e justifique.
é uma base de .
Seja uma matriz , na forma escalonada reduzida. Se , então tem uma linha nula.