Determine, se possivel, uma matriz invertivel de modo que seja uma matriz diagonal.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz de ordem e precisamos descobrir se existe uma matriz invertível também de ordem tal que, ao fazer a operação , a gente obtenha uma matriz diagonal. Isso está dentro do conteúdo de diagonalização de matrizes, que envolve conceitos como autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, para saber se a matriz é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores. Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica de , que é dada por:
Onde é a matriz identidade de ordem 4 e representa os autovalores.
Passo 3
Vamos montar a matriz :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz.
Passo 4
Calculando o determinante:
Após simplificar, chegamos ao polinômio característico:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as raízes desse polinômio, ou seja, os autovalores de . Utilizando métodos de fatoração ou a fórmula de Newton, encontramos que os autovalores são:
Passo 6
Para que a matriz seja diagonalizável, precisamos que o número de autovetores seja igual à dimensão da matriz, ou seja, que haja 4 autovetores linearmente independentes. No entanto, observamos que dois dos autovalores são complexos conjugados ( e ), o que não afeta a diagonalização sobre os números reais, mas limita a matriz a ter entradas complexas.
Passo 7
Como estamos trabalhando com matrizes reais, e tem autovalores complexos, ela não pode ser diagonalizada usando apenas matrizes reais. Isso significa que não existe uma matriz real invertível tal que seja diagonal.
Resposta
Não é possível encontrar uma matriz invertível real tal que seja uma matriz diagonal.