Dê um exemplo de operador linear diagonalizável sobre satisfazendo simultaneamente as seguintes propriedades:
a) é um autovalor de
b)
c) não nulo.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar um operador linear que age no espaço dos polinômios de grau até 2 com coeficientes reais, denotado por . Esse operador deve ser diagonalizável e satisfazer três condições:
a) -3 é um autovalor de ,
b) O núcleo de é o conjunto gerado por ,
c) nunca é igual a para qualquer polinômio não nulo .
Para resolver, vamos precisar entender conceitos como operadores lineares, autovalores, diagonalização e núcleo de um operador.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um operador linear é diagonalizável se existe uma base de composta por autovetores de . Isso facilita a representação de como uma matriz diagonal em relação a essa base.
Passo 3
Sabemos que é um espaço vetorial de dimensão 3, com base típica . Para ser diagonalizável, precisamos de três autovalores (podem ser iguais ou distintos) e seus respectivos autovetores.
Passo 4
A condição (a) nos diz que -3 é um autovalor de . Isso significa que existe um polinômio tal que .
Passo 5
A condição (b) nos informa que o núcleo de é o conjunto gerado por , ou seja, . Isso implica que .
Vamos construir considerando uma base onde um dos vetores é . Isso garante que , atendendo à condição (b).
Passo 8
Escolhemos uma base alternativa para . Vamos usar . Sabemos que , então o vetor será um autovetor associado ao autovalor 0.
Passo 9
Já temos um autovalor, que é -3. Precisamos encontrar outros autovalores para os outros vetores da base. Como deve ser diagonalizável, escolhemos os demais autovalores diferentes de 0 e -3, garantindo que .