Dê um exemplo de operador linear diagonalizável sobre satisfazendo simultaneamente as seguintes propriedades:
a) é um autovalor de
b)
c) não nulo.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar um operador linear que age no espaço dos polinômios de grau até 2 com coeficientes reais, denotado por . Esse operador deve ser diagonalizável e satisfazer três condições:
a) -3 é um autovalor de ,
b) O núcleo de é o conjunto gerado por ,
c) nunca é igual a para qualquer polinômio não nulo .
Para resolver, vamos precisar entender conceitos como operadores lineares, autovalores, diagonalização e núcleo de um operador.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um operador linear é diagonalizável se existe uma base de composta por autovetores de . Isso facilita a representação de como uma matriz diagonal em relação a essa base.

Passo 3

Sabemos que é um espaço vetorial de dimensão 3, com base típica . Para ser diagonalizável, precisamos de três autovalores (podem ser iguais ou distintos) e seus respectivos autovetores.

Passo 4

A condição (a) nos diz que -3 é um autovalor de . Isso significa que existe um polinômio tal que .

Passo 5

A condição (b) nos informa que o núcleo de é o conjunto gerado por , ou seja, . Isso implica que .

Passo 6

A condição © diz que para qualquer polinômio não nulo . Portanto, 1 não é um autovalor de .

Passo 7

Vamos construir considerando uma base onde um dos vetores é . Isso garante que , atendendo à condição (b).

Passo 8

Escolhemos uma base alternativa para . Vamos usar . Sabemos que , então o vetor será um autovetor associado ao autovalor 0.

Passo 9

Já temos um autovalor, que é -3. Precisamos encontrar outros autovalores para os outros vetores da base. Como deve ser diagonalizável, escolhemos os demais autovalores diferentes de 0 e -3, garantindo que .

Passo 10

Vamos escolher e , onde �� um autovalor diferente de 1 para satisfazer a condição ©.

Passo 11

Podemos escolher como outro autovalor. Assim, temos:
  • ,
  • ,
  • .

Passo 12

Agora, queremos expressar na base . A matriz de nessa base será diagonal, já que cada vetor da base é um autovetor:

Resposta

Um exemplo de operador linear diagonalizável sobre que satisfaz as propriedades dadas é definido pela ação em uma base da seguinte forma:
A matriz de nessa base é diagonal:

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