Considere os vetores e . Para cada um dos itens abaixo indique se é verdadeiro ou falso e justifique. é uma base de .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores é uma base de . Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre bases e independência linear de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma base e como determinar se um conjunto de vetores forma uma base, ou seja, se eles são linearly independentes e se conseguem gerar todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base de é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço . Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear desses três vetores.
Passo 3
Para verificar se os vetores são linearmente independentes, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de .
Passo 4
Vamos montar a matriz com os vetores , e :
Passo 5
Agora, calculamos o determinante de . A fórmula para o determinante de uma matriz é:
Onde os elementos da matriz são:
Para nossa matriz:
Passo 6
Substituindo na fórmula do determinante:
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 7
Agora, somamos os três termos:
Passo 8
Como o determinante de é , que é diferente de zero, isso significa que os vetores são linearmente independentes.
Passo 9
Além disso, temos três vetores em um espaço tridimensional (), e sendo eles linearmente independentes, eles também geram todo o espaço. Portanto, atendem aos critérios para formar uma base de .
Resposta
Verdadeiro. O conjunto é uma base de porque os vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço.