Considere os vetores e . Para cada um dos itens abaixo indique se é verdadeiro ou falso e justifique. é uma base de .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores é uma base de . Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre bases e independência linear de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma base e como determinar se um conjunto de vetores forma uma base, ou seja, se eles são linearly independentes e se conseguem gerar todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base de é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço . Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear desses três vetores.
Passo 3
Para verificar se os vetores são linearmente independentes, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de .
Passo 4
Vamos montar a matriz com os vetores , e :
Passo 5
Agora, calculamos o determinante de A. A fórmula para o determinante de uma matriz 3 times 3 é:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde os elementos da matriz são:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
Para nossa matriz:
a = 1, b = 1, c = -1 d = -1, e = 1, f = 2 g = 2, h = 0, i = 1
Como o determinante de A é 8, que é diferente de zero, isso significa que os vetores u, v, w são linearmente independentes.
Passo 9
Além disso, temos três vetores em um espaço tridimensional (R^3), e sendo eles linearmente independentes, eles também geram todo o espaço. Portanto, atendem aos critérios para formar uma base de R^3.
Resposta
Verdadeiro. O conjunto u, v, w é uma base de R^3 porque os vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço.