Considere os vetores u=i+-1 j+2 k, v=i+1 j e w=-1 i+2 j+1 k. Para cada um dos itens abaixo indique se é verdadeiro ou falso e justifique.
u, v, w é uma base de R^3.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores u, v, w é uma base de R^3. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre bases e independência linear de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma base e como determinar se um conjunto de vetores forma uma base, ou seja, se eles são linearly independentes e se conseguem gerar todo o espaço R^3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base de R^3 é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço R^3. Ou seja, qualquer vetor em R^3 pode ser escrito como combinação linear desses três vetores.

Passo 3

Para verificar se os vetores u, v, w são linearmente independentes, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de R^3.

Passo 4

Vamos montar a matriz A com os vetores u, v e w:
A = 1 & 1 & -1 -1 & 1 & 2 2 & 0 & 1

Passo 5

Agora, calculamos o determinante de A. A fórmula para o determinante de uma matriz 3 times 3 é:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde os elementos da matriz são:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
Para nossa matriz:
a = 1, b = 1, c = -1 d = -1, e = 1, f = 2 g = 2, h = 0, i = 1

Passo 6

Substituindo na fórmula do determinante:
det(A) = 1(1 cdot 1 - 2 cdot 0) - 1(-1 cdot 1 - 2 cdot 2) + (-1)(-1 cdot 0 - 1 cdot 2)
Vamos calcular passo a passo:
  1. Primeiro termo: 1(1 cdot 1 - 2 cdot 0) = 1(1 - 0) = 1
  2. Segundo termo: -1(-1 cdot 1 - 2 cdot 2) = -1(-1 - 4) = -1(-5) = 5
  3. Terceiro termo: (-1)(-1 cdot 0 - 1 cdot 2) = (-1)(0 - 2) = (-1)(-2) = 2

Passo 7

Agora, somamos os três termos:
det(A) = 1 + 5 + 2 = 8

Passo 8

Como o determinante de A é 8, que é diferente de zero, isso significa que os vetores u, v, w são linearmente independentes.

Passo 9

Além disso, temos três vetores em um espaço tridimensional ( R^3), e sendo eles linearmente independentes, eles também geram todo o espaço. Portanto, atendem aos critérios para formar uma base de R^3.

Resposta

Verdadeiro. O conjunto u, v, w é uma base de R^3 porque os vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço.

Exercícios relacionados