Seja
um subconjunto do
.
Encontre um conjunto de geradores para
.
Encontre um conjunto de geradores para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto
que está no espaço
. O objetivo é encontrar um conjunto de geradores para
. Isso significa que queremos expressar todos os elementos de
usando combinações lineares de alguns vetores que chamaremos de geradores. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares e combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações que definem o conjunto
. Temos duas equações:
Essas equações relacionam as quatro variáveis
no espaço
. Nosso objetivo é expressar
em termos de variáveis livres, ou seja, variáveis que podemos escolher livremente.
Passo 3
Vamos resolver a segunda equação para
:
Isso significa que
depende diretamente de
. Agora, vamos olhar para a primeira equação e resolver para
:
Então,
também depende de
e
. Até agora, temos:
Isso mostra que
e
são expressos em termos de
e
.
Passo 4
Agora, identificamos que
e
podem ser considerados como variáveis livres. Isso significa que podemos escolher qualquer valor para
e
, e então calcular
e
com base nessas escolhas.
Vamos expressar o vetor
em termos de
e
:
Podemos reescrever isso agrupando os termos com
e
:
Passo 5
O que fizemos foi expressar qualquer vetor em
como uma combinação linear de dois vetores:
-
associado ao parâmetro -
associado ao parâmetro
Esses dois vetores são os geradores de
, porque qualquer vetor em
pode ser obtido combinando esses dois vetores com coeficientes apropriados.
Resposta
Um conjunto de geradores para
é: