Seja um subconjunto do .
Encontre um conjunto de geradores para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto que está no espaço . O objetivo é encontrar um conjunto de geradores para . Isso significa que queremos expressar todos os elementos de usando combinações lineares de alguns vetores que chamaremos de geradores. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares e combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que definem o conjunto . Temos duas equações:
Essas equações relacionam as quatro variáveis no espaço . Nosso objetivo é expressar em termos de variáveis livres, ou seja, variáveis que podemos escolher livremente.

Passo 3

Vamos resolver a segunda equação para :
Isso significa que depende diretamente de . Agora, vamos olhar para a primeira equação e resolver para :
Então, também depende de e . Até agora, temos:
Isso mostra que e são expressos em termos de e .

Passo 4

Agora, identificamos que e podem ser considerados como variáveis livres. Isso significa que podemos escolher qualquer valor para e , e então calcular e com base nessas escolhas.
Vamos expressar o vetor em termos de e :
Podemos reescrever isso agrupando os termos com e :

Passo 5

O que fizemos foi expressar qualquer vetor em como uma combinação linear de dois vetores:
  1. associado ao parâmetro
  2. associado ao parâmetro
Esses dois vetores são os geradores de , porque qualquer vetor em pode ser obtido combinando esses dois vetores com coeficientes apropriados.

Resposta

Um conjunto de geradores para é:

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Dê um exemplo de operador linear diagonalizável sobre cuja imagem é gerada pelos elementos e
Dê um exemplo de operador linear diagonalizável sobre cujo núcleo é gerado pelo elemento .
Dê um exemplo de operador linear diagonalizável sobre satisfazendo simultaneamente as seguintes propriedades:
a) é um autovalor de
b)
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Considere a matriz A dada por:
Determine, se possivel, uma matriz invertivel de modo que seja uma matriz diagonal.