Seja uma matriz , na forma escalonada reduzida. Se , então tem uma linha nula.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma matriz quadrada de dimensão que está na forma escalonada reduzida. O enunciado diz que se essa matriz não for igual à matriz identidade , então ela deve ter pelo menos uma linha nula (ou seja, uma linha composta apenas de zeros). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a forma escalonada reduzida e a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a forma escalonada reduzida. Uma matriz está nessa forma se ela satisfaz as seguintes condições:
  1. As primeiras entradas não nulas de cada linha (chamadas de pivôs) estão à direita dos pivôs das linhas acima.
  2. Cada pivô é igual a 1.
  3. Cada coluna que contém um pivô tem zeros em todas as outras posições.
  4. Todas as linhas de zeros, se houver, estão na parte inferior da matriz.
Essas propriedades garantem que a matriz esteja organizada de uma maneira específica que facilita a resolução de sistemas lineares.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a matriz identidade . Ela é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e todos os outros elementos são 0. Por exemplo, para , a matriz identidade é:
Se uma matriz na forma escalonada reduzida for igual a , isso significa que ela possui pivôs em todas as posições da diagonal principal e nenhuma linha nula.

Passo 4

O enunciado nos diz que . Isso quer dizer que pelo menos uma das condições da matriz identidade não é atendida em . Como está na forma escalonada reduzida, a única forma de ela não ser igual a é se faltarem pivôs em algumas linhas. Se faltar um pivô em uma linha, essa linha terá todos os elementos iguais a zero, ou seja, será uma linha nula.

Resposta

Portanto, se é uma matriz na forma escalonada reduzida e , então tem uma linha nula.

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é uma base de .
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Resolva o sistema: