Seja uma matriz , na forma escalonada reduzida. Se , então tem uma linha nula.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma matriz quadrada de dimensão que está na forma escalonada reduzida. O enunciado diz que se essa matriz não for igual à matriz identidade, então ela deve ter pelo menos uma linha nula (ou seja, uma linha composta apenas de zeros). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a forma escalonada reduzida e a matriz identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a forma escalonada reduzida. Uma matriz está nessa forma se ela satisfaz as seguintes condições:
As primeiras entradas não nulas de cada linha (chamadas de pivôs) estão à direita dos pivôs das linhas acima.
Cada pivô é igual a 1.
Cada coluna que contém um pivô tem zeros em todas as outras posições.
Todas as linhas de zeros, se houver, estão na parte inferior da matriz.
Essas propriedades garantem que a matriz esteja organizada de uma maneira específica que facilita a resolução de sistemas lineares.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a matriz identidade. Ela é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e todos os outros elementos são 0. Por exemplo, para , a matriz identidade é:
Se uma matriz na forma escalonada reduzida for igual a , isso significa que ela possui pivôs em todas as posições da diagonal principal e nenhuma linha nula.
Passo 4
O enunciado nos diz que . Isso quer dizer que pelo menos uma das condições da matriz identidade não é atendida em . Como está na forma escalonada reduzida, a única forma de ela não ser igual a é se faltarem pivôs em algumas linhas. Se faltar um pivô em uma linha, essa linha terá todos os elementos iguais a zero, ou seja, será uma linha nula.
Resposta
Portanto, se é uma matriz na forma escalonada reduzida e , então tem uma linha nula.