Considere a matriz dada por:
determine:
Os autovalores de .

Passo 1

Então, o enunciado nos apresenta uma matriz e nos pede para encontrar os autovalores dela. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar calcular o determinante da matriz , onde é a matriz identidade e representa os autovalores que queremos encontrar.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz . A matriz identidade para uma matriz 2x2 é:
Então, subtraindo de , temos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz . O determinante de uma matriz 2x2 é dado por .
Aplicando isso:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão do determinante:
Expandindo :
Simplificando ainda mais:

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática para resolver:
Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então:

Passo 6

Finalmente, encontramos os valores de :
Para :
Para :

Resposta

Os autovalores de são e .

Exercícios relacionados

Considere a matriz dada por:
determine:
O polinômio característico de .
Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares:
.
Considere a matriz dada por:
determine:
Os autovetores de .
Considere a matriz dada por:
determine:
Mostre que a matriz é diagonalizável.