Considere a matriz A dada por:
A=(ll 1 & 1 4 & 1 )
determine:
Os autovalores de A.

Passo 1

Então, o enunciado nos apresenta uma matriz e nos pede para encontrar os autovalores dela. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar calcular o determinante da matriz , onde é a matriz identidade e representa os autovalores que queremos encontrar.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz I = (ll 1 & 0 0 & 1 ) . A matriz identidade A - lambda I = (ll 1 - lambda & 1 4 & 1 - lambda ) para uma matriz 2x2 é:
Então, subtraindo de , temos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz ll a & b c & d . O determinante de uma matriz 2x2 det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda) - (1)(4) é dado por .
Aplicando isso:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão do determinante:
(1 - lambda)^2 - 4 = 0
Expandindo 1 - 2lambda + lambda^2 - 4 = 0 :
lambda^2 - 2lambda - 3 = 0
Simplificando ainda mais:

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática para resolver:
lambda^2 - 2lambda - 3 = 0
Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-3)2 cdot 1
Calculando o discriminante:
De
Então:
lambda = 2 pm raiz162 = 2 pm 42

Passo 6

Finalmente, encontramos os valores de lambda = 2 + 42 = 62 = 3 :
Para lambda = 2 - 42 = -22 = -1 :
Para :

Resposta

Os autovalores de são e .

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