Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares: T: P2(R) longrightarrow P2(R)
T(a x^2+b x+c)=(a+c) x^2+b x+c.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A questão pede para determinarmos os autovalores e autovetores de uma transformação linear específica , onde é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de autovalores, autovetores, e como representamos transformações lineares usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a transformação T(a x^2 + b x + c) = (a + c) x^2 + b x + c faz. Ela recebe um polinômio da forma e retorna outro polinômio:
Aqui, o coeficiente de passa a ser , enquanto os coeficientes de e o termo constante permanecem os mesmos.

Passo 3

Para encontrar os autovalores e autovetores, vamos representar essa transformação linear como uma matriz. Primeiro, escolhemos uma base para T(x^2) = (1 + 0) x^2 + 0 x + 0 = x^2 . Uma base comum é T(x) = (0 + 0) x^2 + 1 x + 0 = x , onde cada elemento corresponde a um termo do polinômio.
Vamos ver como T(1) = (0 + 1) x^2 + 0 x + 1 = x^2 + 1 age sobre cada um desses elementos:
  1. Para 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 :
Isso significa que a primeira coluna da matriz será .
  1. Para :
A segunda coluna será .
  1. Para :
A terceira coluna será .
Assim, a matriz de na base escolhida é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovalores dessa matriz. Os autovalores det(T - lambda I) = 0 são encontrados resolvendo a equação característica:
T - lambda I = 1 - lambda & 0 & 1 0 & 1 - lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda
Onde det(T - lambda I) = (1 - lambda)^2 (1 - lambda) = (1 - lambda)^3 = 0 é a matriz identidade de mesma dimensão. Subtraindo da diagonal de :
Calculando o determinante:
Resolvendo , temos que é um autovalor de multiplicidade 3.

Passo 5

Com o autovalor (T - I)v = 0 , vamos encontrar os autovetores correspondentes. Os autovetores 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0 satisfazem a equação:
a x^2 + b x + 0
Usando a matriz :

[


]
Isso nos dá as seguintes equações:
  1. → Não impõe restrição
  2. → Não impõe restrição
Então, os autovetores são todos os vetores onde . Em termos de polinômios, isso corresponde a:
Ou seja, qualquer combinação linear de e é um autovetor correspondente ao autovalor .

Resposta

Autovalor:
Autovetores: Todos os polinômios da forma , onde .

Exercícios relacionados