Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A questão pede para determinarmos os autovalores e autovetores de uma transformação linear específica , onde é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de autovalores, autovetores, e como representamos transformações lineares usando matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a transformação faz. Ela recebe um polinômio da forma e retorna outro polinômio:
Aqui, o coeficiente de passa a ser , enquanto os coeficientes de e o termo constante permanecem os mesmos.
Passo 3
Para encontrar os autovalores e autovetores, vamos representar essa transformação linear como uma matriz. Primeiro, escolhemos uma base para . Uma base comum é , onde cada elemento corresponde a um termo do polinômio.
Vamos ver como age sobre cada um desses elementos:
Para :
Isso significa que a primeira coluna da matriz será .
Para :
A segunda coluna será .
Para :
A terceira coluna será .
Assim, a matriz de na base escolhida é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovalores dessa matriz. Os autovalores det(T - lambda I) = 0 são encontrados resolvendo a equação característica: