Considere a matriz
dada por:
determine:
Os autovetores de
.
Os autovetores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar os autovetores da matriz
. Autovetores são vetores que, quando multiplicados pela matriz, resultam em um múltiplo deles mesmos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Primeiro, vamos encontrar os autovalores de
, pois eles são essenciais para determinar os autovetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores (
) da matriz
. Isso é feito resolvendo a seguinte equação característica:
Onde
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
. Vamos montar
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Expandindo
:
Então, substituindo de volta:
Agora, igualamos a zero para encontrar os valores de
:
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os autovalores. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Substituindo:
Portanto, temos duas soluções:
Passo 4
Agora que temos os autovalores
e
, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada
, resolvemos a equação
, onde
é o autovetor.
Para
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Podemos simplificar a primeira equação para
. Assim, o autovetor correspondente é:
Como
pode ser qualquer número não nulo, escolhemos
para simplicidade:
Para
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Simplificando a primeira equação para
. Assim, o autovetor correspondente é:
Novamente, escolhendo
:
Resposta
Os autovetores da matriz
são:
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dada por:
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Mostre que a matriz é diagonalizável.
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Dados os vetores
e
, calcular a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor