Considere a matriz dada por:
determine:
Os autovetores de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar os autovetores da matriz . Autovetores são vetores que, quando multiplicados pela matriz, resultam em um múltiplo deles mesmos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Primeiro, vamos encontrar os autovalores de , pois eles são essenciais para determinar os autovetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores ( ) da matriz . Isso é feito resolvendo a seguinte equação característica:
Onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Vamos montar :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Expandindo :
Então, substituindo de volta:
Agora, igualamos a zero para encontrar os valores de :

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática para encontrar os autovalores. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Substituindo:
Portanto, temos duas soluções:

Passo 4

Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada , resolvemos a equação , onde é o autovetor.

Para :

Isso nos dá o sistema de equações:
Podemos simplificar a primeira equação para . Assim, o autovetor correspondente é:
Como pode ser qualquer número não nulo, escolhemos para simplicidade:

Para :

Isso nos dá o sistema de equações:
Simplificando a primeira equação para . Assim, o autovetor correspondente é:
Novamente, escolhendo :

Resposta

Os autovetores da matriz são:

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Considere a matriz dada por:
determine:
Os autovalores de .
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determine:
O polinômio característico de .
Considere a matriz dada por:
determine:
Mostre que a matriz é diagonalizável.
Dados os vetores e , calcular a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor