Considere a matriz A dada por:
A=(ll 1 & 1 4 & 1 )
determine:
Os autovetores de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar os autovetores da matriz . Autovetores são vetores que, quando multiplicados pela matriz, resultam em um múltiplo deles mesmos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Primeiro, vamos encontrar os autovalores de , pois eles são essenciais para determinar os autovetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores ( det(A - lambda I) = 0 ) da matriz A - lambda I = 1 - lambda & 1 4 & 1 - lambda . Isso é feito resolvendo a seguinte equação característica:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda) - (1)(4) = (1 - lambda)^2 - 4
Onde (1 - lambda)^2 = 1 - 2lambda + lambda^2 é a matriz identidade do mesmo tamanho que 1 - 2lambda + lambda^2 - 4 = lambda^2 - 2lambda - 3 . Vamos montar lambda^2 - 2lambda - 3 = 0 :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Expandindo :
Então, substituindo de volta:
Agora, igualamos a zero para encontrar os valores de :

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática lambda = -b pm raizb^2 - 4ac2a para encontrar os autovalores. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
lambda = -(-2) pm raiz(-2)^2 - 4(1)(-3)2(1) = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42
Aqui, lambda1 = 2 + 42 = 3 e lambda2 = 2 - 42 = -1 , , e . Substituindo:
Portanto, temos duas soluções:

Passo 4

Agora que temos os autovalores A - 3I = 1 - 3 & 1 4 & 1 - 3 = -2 & 1 4 & -2 e -2x + y = 0 4x - 2y = 0 , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada v1 = x 2x = x 1 2 , resolvemos a equação v1 = 1 2 , onde A + I = 1 + 1 & 1 4 & 1 + 1 = 2 & 1 4 & 2 é o autovetor.

Para 2x + y = 0 4x + 2y = 0 :

v2 = x -2x = x 1 -2
Isso nos dá o sistema de equações:
v2 = 1 -2
Podemos simplificar a primeira equação para . Assim, o autovetor correspondente é:
Como pode ser qualquer número não nulo, escolhemos para simplicidade:

Para :

Isso nos dá o sistema de equações:
Simplificando a primeira equação para . Assim, o autovetor correspondente é:
Novamente, escolhendo :

Resposta

Os autovetores da matriz v1 = 1 2 e v2 = 1 -2 são:

Exercícios relacionados