Considere a matriz
dada por:
determine:
Mostre que a matriz
é diagonalizável.
Mostre que a matriz
Passo 1
Então, a gente tem uma matriz
e precisa mostrar que ela é diagonalizável. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e os autovetores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de
. Autovalores são valores de
que satisfazem a equação
, onde
é a matriz identidade.
Calculando
:
Agora, calculamos o determinante:
Simplificando:
Igualando a zero para encontrar os autovalores:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Um autovetor
satisfaz
.
Para
:
Resolvendo
:
Então, um autovetor é
.
Para
:
Resolvendo
:
Então, um autovetor é
.
Passo 4
Para a matriz
ser diagonalizável, ela precisa ter um número suficiente de autovetores linearmente independentes. Como
é uma matriz
, precisamos de dois autovetores linearmente independentes.
Os autovetores
e
são claramente linearmente independentes, pois nenhum é múltiplo do outro.
Resposta
Como a matriz
possui dois autovalores distintos com respectivos autovetores linearmente independentes, ela é diagonalizável.
Exercícios relacionados
Considere a matriz
dada por:
determine:
Os autovetores de .
Os autovetores de
Considere a matriz
dada por:
determine:
Os autovalores de .
Os autovalores de
Dados os vetores
e
, calcular a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor
Considere a matriz
dada por:
determine:
Mostre que é semelhante a matriz
, ou seja,
.
Mostre que