Considere a matriz A dada por:
A=(ll 1 & 1 4 & 1 )
determine:
Mostre que a matriz A é diagonalizável.

Passo 1

Então, a gente tem uma matriz 1 & 1 4 & 1 e precisa mostrar que ela é diagonalizável. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e os autovetores de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A - lambda I = 1 - lambda & 1 4 & 1 - lambda . Autovalores são valores de det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda) - (4 times 1) = (1 - lambda)^2 - 4 que satisfazem a equação (1 - lambda)^2 - 4 = 1 - 2lambda + lambda^2 - 4 = lambda^2 - 2lambda - 3 , onde lambda^2 - 2lambda - 3 = 0 é a matriz identidade.
Calculando lambda = 2 pm raiz(2)^2 - 4 times 1 times (-3)2 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42 :
lambda1 = 3 e lambda2 = -1
Agora, calculamos o determinante:
Simplificando:
Igualando a zero para encontrar os autovalores:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Um autovetor A - 3I = -2 & 1 4 & -2 satisfaz -2v1 + v2 = 0 Rightarrow v2 = 2v1 .
Para 1 2 :
A + I = 2 & 1 4 & 2
Resolvendo 2v1 + v2 = 0 Rightarrow v2 = -2v1 :
1 -2
Então, um autovetor é .
Para :
Resolvendo :
Então, um autovetor é .

Passo 4

Para a matriz 1 2 ser diagonalizável, ela precisa ter um número suficiente de autovetores linearmente independentes. Como 1 -2 é uma matriz , precisamos de dois autovetores linearmente independentes.
Os autovetores e são claramente linearmente independentes, pois nenhum é múltiplo do outro.

Resposta

Como a matriz possui dois autovalores distintos com respectivos autovetores linearmente independentes, ela é diagonalizável.

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