Considere a matriz dada por:
determine:
Mostre que a matriz é diagonalizável.

Passo 1

Então, a gente tem uma matriz e precisa mostrar que ela é diagonalizável. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e os autovetores de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Autovalores são valores de que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade.
Calculando :
Agora, calculamos o determinante:
Simplificando:
Igualando a zero para encontrar os autovalores:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Um autovetor satisfaz .
Para :
Resolvendo :
Então, um autovetor é .
Para :
Resolvendo :
Então, um autovetor é .

Passo 4

Para a matriz ser diagonalizável, ela precisa ter um número suficiente de autovetores linearmente independentes. Como é uma matriz , precisamos de dois autovetores linearmente independentes.
Os autovetores e são claramente linearmente independentes, pois nenhum é múltiplo do outro.

Resposta

Como a matriz possui dois autovalores distintos com respectivos autovetores linearmente independentes, ela é diagonalizável.

Exercícios relacionados

Considere a matriz dada por:
determine:
Os autovetores de .
Considere a matriz dada por:
determine:
Os autovalores de .
Dados os vetores e , calcular a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor
Considere a matriz dada por:
determine:
Mostre que é semelhante a matriz , ou seja, .